Uma série poética: A série de Fourier.

E aí galera! Beleza com vocês?

    Nessa terceira postagem, irei dedicar um pouco ao meio acadêmico (O que não significa que você não possa compreender). Irei falar um pouco sobre um série famosíssima: A série de Fourier! 

    Antes de falar sobre essa série poderosa que tanto usamos no meio acadêmico (diretamente ou indiretamente), vou falar um pouco do célebre matemático Jean Baptiste Joseph Fourier! Fourier nasceu em Auxerre, na França, em 21 de março de 1768 e faleceu em Paris em 16 de maio de 1830, aos 62 anos de idade. Foi marcado por uma infância trágica, pois sua mãe faleceu quando tinha apenas 9 anos e seu pai quando tinha apenas 10 anos de idade. Apesar desses acontecimentos, não deixou desvanecer-se seu amor pela matemática e com apenas quatorze anos já tinha lido seis volumes do curso de matemática de Étienne Bézoutt. 

    Em 1783 recebeu seu primeiro prêmio pelo seu estudo da mecânica geral de Charles Bossut; Era de fato um jovem muito promissor! Depois de um bom tempo, já em Paris, na escola de École Normale, Fourier foi agraciado por ter professores como Lagrange e Laplace, dois matemáticos geniais da época e logo começou uma séria investigação em matemática! 

    Mas vamos ao que nos interessa: O que é essa tal dessa série de Fourier e onde ela se aplica? 

   Como já tinha dito anteriormente, as séries de Fourier são amplamente aplicadas na física, principalmente na física moderna. Porém, nesse primeiro artigo irei me restringir para apenas em mostrar como essa série funciona.

    A série de Fourier tem a seguinte cara:

1.  $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}cos(nx)+b_{n}sen(nx)$$  

  

Aqui, não vamos demonstrar como Fourier chegou a esta belíssima forma, vamos apenas entender o que ela significa e como podemos aplicá-la. Quando vi esta fórmula pela primeira vez, a primeira pergunta que veio em minha mente, foi: "Que funções podem ser representadas dessa maneira?" Depois de algumas pesquisas, encontrei as seguintes condições:

1. A função deve ser diferenciável em um numero arbitrário de vezes
2. O resto da fórmula de Taylor deve tender a zero.

    Essas duas condições são pouquíssimas restritivas, não acha? Esse é um dos fatores para que esta série tenham uma vasta aplicação, porém, o mais notável dessa série é: A partir de uma classe vasta de funções, incluindo as funções descontínuas (aquelas funções que há quebra no gráfico), essas funções podem ser representadas por uma série trigonométrica! Que demais, não é? Chega a ser arrepiante a beleza que essa fórmula propõe! Vamos fazer algumas contas?

2. Definição das séries de Fourier.

    Suponha que uma certa função é representada pela seguinte série: 

 $$f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}cos(nx)+b_{n}sen(nx)$$ 

    E vamos dizer que essa função convirja uniformemente no intervalo de $$[-\pi , \pi]$$... Mas calma aí: O que isso significa? Ora, de um linguajar rude, dizemos que que uma série é convergente se fizermos a soma dos infinitos termos dessa série e ela resultar em um número. Caso essa soma vá para o infinito, dizemos que essa série diverge. Vamos ver dois exemplos básicos, porém, sem demonstração:

1. O recíproco dos inteiros positivos produz uma série divergente, ou seja:

$$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...\rightarrow \infty$$ 

2. Agora, se alternarmos os sinais dos recíprocos dos números inteiros, produziremos uma série convergente, ou seja:

$$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...\rightarrow ln(2)$$ 

Ficou claro a diferença? 

Vamos voltar ao que nos interessa. Observe a primeira equação deste tópico! O que falta para determinar essa respectiva série? Os termos $a_{n}$ e  $b_{n}$, concorda? Então vamos fazer o seguinte truque: Vamos multiplicar a série por $cos(mx)$, logo, vamos obter a seguinte equação,

$$f(x)cos(mx)=\frac{a_{0}}{2}cos(mx)+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}cos(nx)cos(mx) + \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}sen(nx)cos(mx)$$ 

    Agora se a série é uniformemente convergente e pode ser integrada termo a termo, então:

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(mx)dx=\frac{a_{0}}{2}\int_{-\pi}^{\pi}cos(mx)dx+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)cos(mx)dx + \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\int_{-\pi}^{\pi}sen(nx)cos(mx)dx$$ 

    A determinação dos coeficientes $a_{n}$, se conhecermos f(x), ela está baseada nas importantes propriedades das funções seno e cosseno! Vamos lembrá-las! Você lembra o que é uma função ímpar e par? Não?! Então mantenha a calma! O conteúdo é difícil, porém, maravilhoso!

Vamos lá! Qual é de fato uma função ímpar? Dizemos que uma função é ímpar, se obedece a seguinte propriedade:

$$f(-x)=-f(x)$$

 E se uma função for par, ela obedece a seguinte propriedade:

$$f(-x)=f(x)$$

A partir daqui, você conseguiria dizer se o cos(x) é impar ou par? E o sen(x)? 

Bom, para ter uma compreensão mais geométrica, vamos ver os comportamentos dos gráficos do sen(x) e o cos(x).

    Agora analise as duas funções pegando os seguintes valores: $cos(-\pi)$ e $cos(\pi)$. O que você claramente vai observar é que os dois valores irá resultar em $-1$. Logo, pela definição acima, $cos(x)$ é uma função par! 

  Mas... Por que eu quis mostrar essa propriedade? Porque irá facilitar a solução dos coeficientes da série de Fourier! Muita calma, jovem! 

Suponha que queremos calcular a seguinte integral: 

$$\int_{-a}^{a}h(x)dx=\int_{-a}^{a}sen(x)dx$$

Logo,

$$\int_{-a}^{a}h(x)dx=\int_{-a}^{a}sen(x)dx=-[cos(a)-cos(-a)]$$

Mas como $cos(x)$ é uma função par, então: $cos(-x)=cos(x)$, portanto, 

$$\int_{-a}^{a}h(x)dx=\int_{-a}^{a}sen(x)dx=0$$

E chegamos a um importante resultado! Se integramos uma função ímpar em intervalos simétricos, esta integral resultará em 0! Esse resultado irá facilitar nossas vidas!

Voltemos ao nosso problema da determinação do parâmetro $a_{n}$ , tínhamos o seguinte: 

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(mx)dx=\frac{a_{0}}{2}\int_{-\pi}^{\pi}cos(mx)dx+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)cos(mx)dx + \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\int_{-\pi}^{\pi}sen(nx)cos(mx)dx$$ 

  

  E já sabemos que a função $cos(x)$ é par e a função $sen(x)$ é ímpar. Porém, quando há um produto de uma função par com uma função ímpar, a função resultante será uma função ímpar! Será que você já conseguiu compreender o motivo de multiplicarmos toda a série de Fourier por $cos(mx)$? Se não conseguiu, continuemos com o conteúdo! 

Devido ao resultado anterior, você concorda que: 

$$\int_{-\pi}^{\pi}sen(nx)cos(mx)dx=0$$

Para quaisquer n,m >0!  Pois $sen(nx)cos(mx)$ é uma função ímpar! 

Portanto, ficamos apenas com os seguintes termos:

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(mx)dx=\frac{a_{0}}{2}\int_{-\pi}^{\pi}cos(mx)dx+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)cos(mx)dx + \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\int_{-\pi}^{\pi}sen(nx)cos(mx)dx$$ 

 Aqui, vamos omitir a solução da $\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)cos(mx)dx$, caso você tenha interesse em saber a solução dessa integral, aconselho você a conferir o livro de física matemática de Eugene Butkov, cap 4. Porém, o resultado dessa integral é:

 $$\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)cos(mx)dx=\pi$$

Se $n=m$! Se $n\neq m$, então:

$$\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)cos(mx)dx=0$$

Esses resultados são de grande relevância! É fácil ver que $\int_{-\pi}^{\pi}cos(mx)dx=0$, logo, se antes tínhamos que: 

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(mx)dx=\frac{a_{0}}{2}\int_{-\pi}^{\pi}cos(mx)dx+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)cos(mx)dx + \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\int_{-\pi}^{\pi}sen(nx)cos(mx)dx$$ 

Agora ficamos apenas com: 

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(mx)dx=a_{n}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)cos(mx)dx$$  

Mas se Se $n=m$ a integral resulta em $\pi$, então, 

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(mx)dx=a_{n}\pi$$  

E portanto o nosso primeiro coeficiente da série de Fourier é:

$$a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx$$

Agora vamos determinar o segundo termo $b_{n}$ da série! De modo semelhante ao que fizemos para a determinação do $$a_{n}$$, vamos determinar o  $b_{n}$! Temos que a série é:

$$f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}cos(nx)+b_{n}sen(nx)$$ 

Agora vamos multiplicar essa série por $sen(mx)$, teremos:

$$f(x)sen(mx)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}cos(nx)sen(mx)+b_{n}sen(nx)sen(mx)$$ 

Fazendo o mesmo processo de integração entre os intervalos $[-\pi,\pi]$, obtemos:

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sen(mx)dx=\frac{a_{0}}{2}\int_{-\pi}^{\pi}sen(mx)dx+\sum_{n=1}^{\infty }a_{n}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)sen(mx)dx + \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\int_{-\pi}^{\pi}sen(nx)sen(mx)dx$$ 

Agora já sabemos o resultado de cada integral.

Então,

$$b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sen(nx)dx$$

 Certifique-se que você entendeu esse passo. 

Essa é apenas a primeira parte da série de Fourier e aprendemos aqui a determinar seus respectivos coeficientes. Na próxima postagem, dedicarei a fazer aplicações dessa importante série! 

Boa noite! :)