Uma lei de grande relevância: A lei de Gauss!

Oi gente!!!!

Tudo bem com vocês? Vou me dedicar a escrever sobre a famosa Lei de Gauss.
Essa primeira postagem vai para o meio acadêmico e se baseiam nas anotações feitas nas aulas de física 3 da universidade federal do ceará (UFC)!

Antes de começar a escrever precisamente sobre a lei de Gauss, quero dizer uma coisa muito importante para vocês! A matemática descrita aqui é um pouco complicada para quem não entende nada de cálculo, mas não desista de ler, vou explicar o significado físico de cada passagem matemática! Aliás, se a matemática não tivesse uma interpretação física, para que estaríamos utilizando, não é mesmo?!

Outro dia, li uma frase do matemático John Von Neumann que dizia:

"Eu penso que seria uma aproximação relativamente boa da verdade, dizer que as ideias matemáticas tem sua origem em implicações empíricas... Mas, uma vez concebidas, elas adquirem uma identidade e crescimento próprios governados quase por motivações estéticas... Entretanto, quando uma disciplina matemática se distancia de sua fonte empírica, existe um grave perigo de que ela se desenvolva em linhas de menor resistência e que sua corrente principal, distante da fonte original, se ramifique em uma meríade de subdivisões insignificantes tornando a disciplinas em uma massa desorganizada de detalhes e complexidades."

Esse texto me tira o fôlego!

Essa primeira parte vou me dedicar a escrever sobre dois conceitos matemáticos importantes para o eletromagnetismo: A divergência e o rotacional.

1. A divergência. 

A divergência é facilmente calculada, basta tomar o produto escalar entre o operador nabla e uma função vetorial F.  O operador nabla é escrito da seguinte  forma:

\begin{equation}
\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial }{\partial z}\mathbf{k}
\end{equation}

E vamos supor a existência de um campo vetorial F descrito por:

\begin{equation}
\boldsymbol{F}=F_{x}\boldsymbol{i}+F_{y}\boldsymbol{j}+F_{z}\boldsymbol{k}
\end{equation}

Se fizermos o produto escalar entre a equação (1) e a equação (2), obtemos:

\begin{equation}
\nabla\cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_{x}}{\partial x} + \frac{\partial F_{y} }{\partial y} + \frac{\partial F_{z} }{\partial z}
\end{equation}

Bom, matematicamente, a equação 3 é o que chamamos de divergente. Talvez, nesse exato momento, você esteja se perguntando o que é  o operado nabla, vou escrever um pouquinho sobre ele, você vai entender!

É um história interessante. O operador nabla é um vetor cujo nome vem de uma palavra grega para um tipo de harpa que possui uma forma semelhante ao seu símbolo. Esse "pequeno" operador foi introduzido por William Rowan Hamilton como uma derivada vetorial de uma função escalar (A descrição da equação (1) está bem clara sobre isso rsrs) e tem exatamente a cara que colocamos na equação(1) em coordenadas cartesianas. (Uma curiosidade é que este operador muda de "cara" quando está em coordenadas esféricas ou cilíndricas, mas deixaremos isso para outra postagem). É importante observar, que este operador isolado não possui nenhum significado geométrico. É na sua interação com outras grandezas que passará a representar algum sentido geométrico (é o caso do gradiente.)... Agora voltando ao nosso assunto, vamos falar do significado nesse operador quando aplicado (escalarmente) a uma função vetorial.

Em termos técnicos, o divergente mede a variação do fluxo deste vetor e é descrito como a equação (3). Por exemplo, o campo elétrico gerado por uma carga pontual não tem divergente nulo, ou seja, a variação do fluxo no campo elétrico altera o módulo do campo elétrico. Por fluxo, entendemos a quantidade de vetor que passa por uma determinada superfície. Mas vamos esclarecer isso!!!!!

Vamos interpretar o que seria o divergente de uma força. (Peço que você tente imaginar o máximo possível e se divirta com esse exemplo):

Imagine um volume de ar que está dentro de uma sala sendo aquecido ou resfriado. (Isso é fácil de imaginar rsrs). O campo vetorial nesse caso é a velocidade do ar se movendo! Se o ar é aquecido numa determinada região, ele irá se expandir em todas as direções, então o divergente dessa área é positivo. Mas se o ar estiver resfriando em outra determinada área, ele irá se contrair, ou seja, haverá mais ar entrando nessa pequena área observada que saindo, logo o divergente do campo velocidade dessa região é negativo!!!!

Resumindo: Se o divergente de um vetor der positivo, significa que existe uma fonte dentro da região que está sendo observada. Se der negativo existe um sorvedouro e se for zero, significa que o fluxo é conservativo, ou seja, dizemos que o sistema está em regime estacionário (a energia não varia com o tempo). 

Ficou claro a definição de divergente? (Nem me apeguei muito a matemática, não é mesmo?) O significado físico do divergente é lindo! (Pelo menos eu acho rsrs)

2. O rotacional. 

O rotacional tem uma cara mais complicada do que o divergente e o significado dele é um pouco mais complicado.
Bom, tecnicamente o rotacional é a medida de quanto um vetor $\textbf{F}$ 'gira em torno' de um ponto em questão.

Imagine o seguinte: Você está à beira de um lago e você tem a ideia de colocar uma pequena rolha de vinho com palito espetado radialmente. Se ela começar a girar, então você a colocou num ponto de rotacional não nulo. Nesse caso você já deve ter imaginado que um redemoinho é uma região com um grande rotacional.

Logo, quantitativamente o rotacional é dado pela seguinte expressão:

\begin{equation}
\nabla\times \textbf{F}=\begin{vmatrix}
\textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\
\frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\
F_{x} & F_{y}  & F_{z}
\end{vmatrix}
\end{equation}

Basta resolver esse determinante 3x3 e ser feliz!

Bom, para você que está lendo sobre o potencial elétrico, possivelmente já sabe o que significa a lei de Coulomb e a lei de Gauss, não é mesmo?

"- Ah, mas eu não lembro professor"

Tudo bem, eu vou revisar! Então fica atento. Sente-se ao lado de uma garrafa de café e vamos nos aprofundar melhor sobre esse tema!

Bom, lembra que quando você fazia o ensino médio a professora cansava de dizer: "A lei de coulomb diz que a força elétrica varia inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa as cargas."?

Então, para uma distribuição linear de cargas a lei de Coulomb assume uma forma de integrais simples.  Ela pode ser escrita da seguinte maneira:

\begin{equation}

\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon}\int\frac{\lambda(\vec{r'})}{r^3}(\vec{r}-\vec{r'})dl'

\end{equation}

Para uma distribuição superficial de cargas, é uma integral dupla, ou seja:

\begin{equation}
\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon}\int \int\frac{\sigma(\vec{r'})}{r^3}(\vec{r}-\vec{r'})dA'
\end{equation}

E finalmente para uma distribuição volumétrica, temos:
\begin{equation}

\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon}\int \int \int\frac{\rho (\vec{r'})}{r^3}(\vec{r}-\vec{r'})dV'

\end{equation}

Um ponto importante é que você visualize o que significa cada vetor! Veja a imagem abaixo. 

É fácil verificar que aquele "r estranho" é exatamente a diferença entre os dois vetores r-r',  não é mesmo?! Logo essa é a lei de Coulomb! (Exemplos serão deixados para próxima postagem).

Agora uma parte muito importante para o potencial! A Famosa lei de Gauss!!!!

A lei de Gauss é basicamente um truque para facilitar as integrais que saem a partir da lei de Coulomb "pura". O truque para evitar essas integrais complicadas o divergente e o rotacional. E é aqui onde começa a brincadeira.

Inicialmente vamos buscar encontrar o divergente a partir da equação (7). A forma mais básica da lei de Coulomb, é: 

$$\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon}\frac{Qq}{r^2}\hat{\textbf{r}}$$

Para interpretar de maneira mais agradável, lembre-se que o campo elétrico é um campo vetorial.
É fácil ver, devido a equação anterior, que o campo decresce com o inverso do quadrado do raio, ou seja, os vetores ficam mais curtos a medida que você se afasta da origem: Eles sempre apontam radialmente para fora. Mas há uma maneira mais agradável de representar esse campo, que é conectando as setas para formar linhas de forças. Você pode pensar que simplesmente joguei fora a informação sobre a intensidade do campo que estava contida no comprimento das setas. Mas na realidade a magnitude do campo agora é dado pela densidades das linhas de campo elétrico: Ele é mais forte perto do centro e mais fraco com a distância, quando eles ficam mais separados.

Observe que nesse modelo estamos preocupado em calcular o fluxo do campo elétrico através de uma superfície S, então se apropriando mais uma vez do cálculo vetorial, temos:

$$\phi= \int \int_S \vec{E} \cdot  d\vec{A}$$

Calcular essa integral para o campo elétrico de uma carga puntual é muito simples. Se você lembra do cálculo básico saberá calcular essa integral. Ela fica com essa "carinha bonita" como descrita na equação abaixo:

\begin{equation}
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\int\int \frac{1}{r^2}\hat{r}\cdot(r^2sen\theta d\theta d\phi \hat{r}) =\frac{q}{\epsilon_0}
\end{equation}

Obviamente que na equação anterior estamos calculando o fluxo das linhas de campo elétrico através de uma superfície. Mas o que essa equação sugere? Sugere exatamente que o fluxo através de uma superfície fechada é uma medida da carga total contida no seu interior!!! Esse é a famosa lei de Gauss, que pode ser expressa de duas maneiras: Tem sua forma integral e sua forma diferencial!

A integral já encontramos, como diz a equação acima...

\begin{equation}
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_(int)}{\epsilon_0}
\end{equation}

Está claro até aqui?! Vamos fazer só mais uma coisinha para ficar tudo bonitinho: Vamos mostrar a lei de Gauss na forma diferencial. É muito simples graças ao trabalho de Gauss. Basicamente  o teorema da divergência nos diz o seguinte:

\begin{equation}
\int\int\vec{E}\cdot d\vec{A}=\int \int \int \nabla\cdot \vec{E}dV
\end{equation}

Mas a carga contida no interior desse volume, pode ser escrito da seguinte maneira:

\begin{equation}
q=\int \int \int \frac{\rho dV}{\epsilon_0}
\end{equation}
 Igualando a equação (10) e (11), obtemos:

\begin{equation}
\int \int \int \nabla\cdot \vec{E} dV =\int \int \int \frac{\rho dV}{\epsilon_0}
\end{equation}

E portanto...

\begin{equation}
\nabla\cdot \vec{E}=\frac{\rho }{\epsilon_0}
\end{equation}
 Essa é a famosa lei de Gauss em sua forma diferencial!!!!

Essa ultima equação nos diz exatamente a mesma coisa sobre a forma integral, a versão diferencial é mais "ajeitada". Porém, a forma integral tem a vantagem de acomodar cargas pontuais, distribuições lineares e superficiais com mais naturalidade.

Está claro até aqui? No próximo post responderemos uma questão muito importante: O que é o potencial elétrico e onde ele se aplica?

Continua na segunda parte...