Introdução a mecânica analítica: O que são vínculos?

Esse conjunto de postagem que irei fazer, se destinará para estudantes que tenham interesse em conhecer melhor a mecânica analítica. Hoje, iremos falar sobre vínculos.

Vínculos.

     Vamos dar inicio ao estudo da dinâmica lagrangeana, procurando caracteriazer quais são as condições básicas que permitem as formulação das leis da mecânica, numa forma conhecida Lagrangeana, cuja equações fundamentais são as famosas equações de Euler-Lagrange. As equações de Lagrange são particularmente convenientes para descrever as equaçães de movimento de sistemas que são sujeitos a certas restrições e vínculos. Logo, é de grande importância conversarmos um pouco sobre o que são vínculos, como se caracterizam vínculos e como esses vínculos interferem nas equações de movimento.

     Em poucas palavras, um vínculo é uma restrição de natureza geométrica ou cinemática ao movimento das partículas de certos sistemas. Essas restrições são de caráter cinemático, ou seja, são restrições nas posições ou nas velocidades das partículas, e portanto são restrições que antecedem a dinâmica.

     Então, vamos tentar ver alguns exemplos de vínculos, a que um sistema de partícula pode estar sujueito.

1. Partícula restrita a uma superfície. 

    Então, suponhamos que a partícula só possa se movimentar sobre uma certa superfície. Vamos usar coordenadas cartesianas para localizar a partícula no espaço, e suponhamos que a função da partícula no espaço seja $f(x,y,z)=0$, que genericamente é a equação de uma superfície no espaço tridimensional. Logo, se quisermos descrever o movimento dessa partícula sobre essa superfície, essas três coordenadas cartesianas deixam de ser independentes entre si. O movimento dessa partícula sobre a superfície tem que levar em conta que as três coordenadas sempre estão relacionadas pela seguinte condição:

\begin{equation}
f(x,y,z)=0
\end{equation}

Figura 1: Partícula restrita à uma superfície.

Por exemplo. suponha que a figura (1) seja uma superfície deformável. Da condição acima, estamos cnsiderando que a superfície esteja fixa em relação aos eixos coordenados. Porém, essa superfície, pode estar em movimento ou se deformando a medida que o tempo passa.

2. Se a superfície está em movimento ou é deformável, a restrição sobre as coordenadas que dão a posição da partícula, passa a ser representada por uma equação da seguinte forma:

\begin{equation}
f(x,y,z,t)
\end{equation}

A dependência explícita em t, indica que a medida que o tempo passa essa superfície ou se move ou se deforma. Ou seja, a equação que representa essa superfície, é diferente em cada instante. Logo, as equações (1) e (2) representam restrições sobre as coordenadas de posição das partículas se ela estiver restrita a se mover sobre uma superfície em movimento.

Agora, quero observar o seguinte:

Se as restrições sobre o movimento das partículas de um sistemas tiver origem nas equações de movimento, ou seja, de natureza dinâmica, essa restrição ainda não caracteriza um vínculo. Vínculos são restrições de natureza cinemática.

Para exemplificar melhor: Sabemos que o movimento de uma partícula sob a ação de uma força central se dá em um plano. Porém, isso não é um vínculo sobre o movimento da partícula, porque o fato do movimento se dá no plano é uma consequência da dinâmica. Esse plano depende das condições inicias da partícula.

Exemplo 2: Pêndulo duplo Plano.

 

Figura 2: Pêndulo duplo plano.

 

Podemos observar que essas quatro coordenadas não são idependentes entre si. Isso porque como a haste $l_{1}$ tem o comprimento fixo. A distância desse ponto até a origem tem que ser igual a $l_{1}$. Então, se as coordenadas da massa $m_{1}$ forem $(x_{1},y_{1})$, usando o teorema de pitágoras, chegamos a seguinte conclusão:


\begin{equation}
x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=l_{1}^{2}
\end{equation}

Por outro lado, a distância da massa $m_{2}$ até  a massa $m_{1}$ tem que ser igual ao comprimento $l_{2}$ da haste. Logo,

\begin{equation}
(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=l_{2}^{2}
\end{equation}

Então, nesse caso, há duas equações de vínculos.


Agora, todos os exemplos vistos até aqui, são exemplos em que as restrições são apenas sobre as coordenadas de posição das partículas que compõem o sistema. Então, vamos fazer uma consideração de caráter genérico:

Suponha que se usem as seguintes coodernada para descrever um sistema mecânico:  $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}, t$, onde essas coordenadas podem representar posições, ângulos, não importa muito. Se os vínculos forem todos da forma:


\begin{equation}
f(\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n},t)=0
\end{equation}

Eles são distos holônomos.

Os vínculos holônomos são vínculos que podem ser descritos como a equação (5), onde $f$ depende apenas das coordenadas para descrever as posições das partículas do sistema. Outro termo que usaremos para dizer que as posições das partículas ficam perfeitamente definidas, é o termo "configuração do sistema". Dizer que o sistema está com certa configuração, sifnifica que as partículas que compõe o sistema estão em certas posições bem definidas. Logo, as posições das partículas em um dado instante definem a configuração do sistema naquele instante. A medida que o tempo passa, a configuração vai mudando porque o sistema também está mudando. Então, se $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},...,\varepsilon_{n}$  são as coordenadas que definem a configuração do sistema, ou seja, dão a localização de cada partícula num dado instante, e se todos os vínculos são descritos pela equação (5), nós dizemos que esse sistema é holônomo, e esses vínculos são vínculo holônomos.

A palavras holônomo é uma combinação de raiz grega que significa "inteiro" ou "todo", e "nomo" é de "lei". Então, o signigicado seria "uma regra inteira".

Podem haver vínculos que envolvam as velocidades das partículas além das coordenadas. Genericamente, vínculos que depender das coordenadas e velocidades são equações diferenciais, como era de se esperar.

Logo, vínculos que envolver a velocidade, que são equações diferenciais, são ditos não-holônomos, embora, em alguns casos especiais eles possam ser. Explicando de forma melhor, podem ocorrer vínculos da seguinte forma:


\begin{equation}
g(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n}, \dot{\xi_{1}}, ..., \dot{\xi_{n}},t )    = 0
\end{equation}

Suponha que os vínculos possam ser dessa forma. Então, a equação (6), é uma equação para cada um dos vínculos que relaciona as coordenadas de posição com as de velocidade. Logo, esses vínculos que envolvem velocidades e coordenadas, ocorrem tipicamente em movimento de corpos rígidos sujei a condição de rolamento sem deslizamento.

Exemplo 3: Cilindro rolando sem deslizar em uma superfície horizontal. 

A configuração de um cilindro num dado instante, pode ser caracterizado por duas coordenadas, a primeira é a que dá a posição do centro de massa do cilindro a partir da origem, e a segunda é o ângulo de rotação desse cilindro em torno do seu eixo de simetria (que chamaremos de $\phi $).

 Num movimento arbitrário desse cilindro sobre a superfície horizontal, verificamos que as duas coordenadas são inteiramente independentes. A posição de um cilindro no dado momento e o quando ele girou a partir da posição de referência inicial,

Cilindro rolando sem deslizar numa superfície horizontal.

são idependentes. Agora se o cilindro rola sem deslizar, queremos dizer com isso que a velocidade do ponto de contato do cilindro com a superfície é sempre 0. Ou seja, o cilindro não escorrega sobre a superfície horizontal. A condição de rolamento sem deslizamento pode ser representada por:

\begin{equation}
\dot{x}=R\dot{\phi}
\end{equation}

Onde $\dot{\phi}$ é a velocidade angular instantânea do cilindro. Essa velocidade angular instantânera gera uma velocidade do ponto de contato que é $\omega R$ para a esquerda. Como $\dot{x}$ é a velocidade do centro de massa, a velocidade resultante é: $\dot{x}-\omega R$, ou, $\dot{x} - R\dot{\phi}$. Se essas coisas não forem iguais, é porque o cilindro está deslizando sobre a superfície. Quando essas "coisas" são iguais, provoca uma velocidade extamente igual a zero do ponto de contato do cilindro com a superfície. Então, a condição de rolamente sem deslizamento pode ser escrito da seguinte maneira:

\begin{equation}
\dot{x}-R\dot{\phi}=0
\end{equation}

Logo, podemos ver que essa equação é uma equação do tipo eq (6).

Exemplo 4: Moeda vertical rolando sem deslizar num plano horizontal. 

Moeda vertical rolando sem delizar num plano horizontal.

Suponha que a moeda esteja fazendo uma trajetória como descrita pela figura acima. Se $\textbf{V}$ é a velocidade do centro de massa da moeda, $\phi$ seja o ângulo de toração da moeda sobre o próprio eixo e $\theta$ for um âgulo que o vetor velocidade do centro de massa faz com a direção x, então a condição de rolamento sem deslizamento dessa moeda é:

\begin{equation}
v=R\dot{\phi}
\end{equation}

Mas, em termos das coordenadas do centro de massa $(x,y)$, então as projeções desse vetor \textbf{V} na direção $x$ e na direção $y$, dão as componentes $\dot{x}$ e $\dot{y}$. Logo, temos:

\begin{equation}
 \left\{\begin{matrix}
\dot{x}=V\cos \theta=R \dot{\phi }\cos \theta\\
\dot{y}=Vsen \theta = R \dot{\phi} sen \theta

\end{matrix}\right.
\end{equation}

Nesse caso, para especificar a configuração dessa moeda em um dado instante, precisamos dizer onde está o centro de massa dela, $\phi$ que é o ângulo de rotação em torno do seu próprio eixo e precisamos saber qual a orientação da moeda em relação a uma direção dada, que no caso foi escolhida a direção x. Então, em princípio, precisamos de 4 coordenadas. $x$ e $y$ que dão a posição do centro da moeda, $\phi$ e $theta$, que dá a orientação do plano da moeda em relação a essa direção x. Agora, a condição de rolamente sem deslizamento, é expressas por duas equações de vínculo, que neste caso, são:

\begin{equation}
\dot{x}-R\dot{\phi}cos\theta
\end{equation}

E,

\begin{equation}
\dot{y}-R\dot{\phi}sen\theta
\end{equation}

Vemos que essas duas equação de vínculos, relacionam velocidades e coordenadas usadas para descrever a configuração da moeda. Então, as equações do tipo (11) e (12), se enquadram na fórmula genérica de coordenadas e velocidades igual a zero. Lembre-se:


\begin{equation*}
g(\xi_{1},\xi_{2},...,\xi_{n}, \dot{\xi_{1}}, ..., \dot{\xi_{n}},t )    = 0
\end{equation*}

Daí, de forma geral, vínculos que envolvam coordenadas e velocidades não são holônomos, mas em casos especiais, embora as equação de vínculos envolvam as velocidades, esses vínculos podem ser efetivamente holônomo. Porque acontece o seguinte, as equações (11) e (12) são equações diferenciais. Pode ser possível integras essas equações e escrevê-las, na forma de funções que só dependam das coordenadas iguais a zero. Se for possível fazer isso, os vínculos são efetivamente holônomos. Se não for possível, os vínculos são não-integráveis e não é possível integras as equações diferenciais e reduzer as equações como funções só das coordenadas iguais a zero. Neste caso, os vínculos não são integráveis.

Se integrarmos a seguinte equação:

\begin{equation}
 \dot{x}=R\dot{\phi} \rightarrow  x-R\phi=C \rightarrow  x - R\phi+C=0
 \end{equation}

Logo,  a equação acima é uma função só das coordenadas! Não há mais velocidades. Logo, embora o vínculo originalmente relacionasse as velocidades, foi possível fazer uma integração e reduzir a equação acima de uma forma equivalente que relacionam as coordenadas entre si.

Logo, quando um vínculo é integrável, é possível fazer uma integração e reduzir o vínculo a uma relação que dependa exclusivamente das coordenadas. Esse tipo de vínculo, chamamos de holônomos.

Então, a equação $\dot{x}-R\dot{\phi}=0$ não pareça, porém quando realizamos um processo de integração, vamos que eles dependem exclusivamente das coordenadas de posição. E no caso do exemplo da moeda? Ele é um vínculo holônomo? Agora, a situação é mais complicada! Porque temos uma função de $h$, tal que:

\begin{equation}
h=h(x,y,\theta,\phi)
\end{equation}

Então, queremos responder a seguinte pergunta: A equação abaixo pode ser integrada?

\begin{equation}
\dot{x}-R\dot{\phi}cos\theta=0
\end{equation}

Integrar a equação acima é equivalente a perguntar: Será que existe uma função $F$ das coordenadas e do tempo $F=F(x,y,\theta,\phi,t)$ tal que a expressão acima seja a derivada em relação ao tempo dessa função "$F$"?

\begin{equation}
\dot{x}-R\dot{\phi}cos\theta=\frac{\mathrm{d}F }{\mathrm{d} t}
\end{equation}

Se existir uma função F, tal que a equação (16) seja verdade, a condição que $\dot{x}-R\dot{\phi}cos\theta=0$, é equivalente a $dF/dt=0$. Portanto $F=cte$. Mas, $F=F(x,y,\theta,\phi,t)$ é uma função apenas das coordenadas, então esse vínculo seria efetivamente holônomo, que se exprime pela seguinte condição:

\begin{equation}
F=F(x,y,\theta,\phi,t)=cte
\end{equation}

Agora acontece o seguinte, mesmo que $\dot{x}-R\dot{\phi}$, não seja derivada total de uma função, pode acontecer de $\dot{x}-R\dot{\phi}$ ter um fator integrante. Logo, para saber se esse vínculo é integrável, é preciso investigar se existem funções $h=h(x,y,\theta,\phi,t)$ e $F=F(x,y,\theta,\phi,t)$, tais que:


\begin{equation}
h\dot{x}-hR\dot{\phi}cos\theta=\frac{\mathrm{d}F }{\mathrm{d} t}
\end{equation}

Se acontecer com a equação acima, deizemos que esta equação tem um fator integrante, que é esse fator h. Então, vamos fazer um exercício para tentar ver se para este vínculo, é possível encontrar algum fator integrante! Se existem funções $h$ e $f$, então teremos o seguinte:

\begin{equation}
h\dot{x}-hR\dot{\phi}cos\theta=\frac{\partial F}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial F}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial F}{\partial \theta}\dot{\theta}+\frac{\partial F }{\partial \phi}\dot{\phi}+\frac{\partial F }{\partial t}
\end{equation}

E comparando, temos:

\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial F}{\partial x}=h\dot{x}\\
\\\frac{\partial F}{\partial y}=0
\\ \frac{\partial F}{\partial \phi}=-hR\dot{\phi}cos\theta
\\ \frac{\partial F}{\partial \theta}=0
\\
\frac{\partial F}{\partial t}=0


\end{matrix}\right.
\end{equation}


Se essas funções forem contínuas, então suas derivadas cruzadas são iguais. Ou seja,

\begin{equation}
\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial t }=\frac{\partial^2 F}{\partial t \partial x }
\end{equation}

Logo,

\begin{equation}
\frac{\partial }{\partial t}\left ( \frac{\partial }{\partial x} \right )=\frac{\partial }{\partial t}\left ( h \right )=0 \Rightarrow \frac{\partial h}{\partial t}=0
\end{equation}

Logo h não depende do tempo, se existir é apenas uma função de $h=h(x,y,\phi,\theta)$.

Se usarmos mais algumas condições de igualdade das derivadas cruzadas, pode ser que chegamos a condição que a única função h possível é a função identicamente 0. Se isso acontecer, siginifica que a equação não tem um fator integrante, logo, ela não é uma equação integrável. E portanto, esse vínculo não é holônomo.

\begin{equation}
\frac{\partial }{\partial x}\left ( \frac{\partial F }{\partial \phi} \right )=\frac{\partial  }{\partial \phi}\left ( \frac{\partial }{\partial x}  \right )\Rightarrow \frac{\partial }{\partial \phi}\left ( h \right )\Rightarrow \frac{\partial \phi}{\partial x}=-\frac{\partial }{\partial x}Rcos(\theta)
\end{equation}

O que queremos mostrar é que a equação de vínculo da moeda rolando no plano, não admite um fator integrante. Logo, essa equação é um vínculo não-holônomo. Fudamentalmente, o que distingue vínculos não holônomos que envolvem velocidades, de vínculos hlônomos é que um vínculo não holônomo impõe restrições sobre as velocidades possíveis.

Continuando,

\begin{equation}
\frac{\partial^2 F}{\partial \phi \partial \theta}=\frac{\partial^2 F}{\partial \theta  \partial \phi }\Rightarrow \frac{\partial }{\partial \theta}\left ( hRcos\theta \right )\Rightarrow -Rhsen(\theta)=0\Rightarrow h=0
\end{equation}

Se observarmos, percebemos que h é apenas uma função de $x$ e $\phi$, ou seja, $h=h(x.\phi)$. Logo, a equação acima tem a seguinte forma:

\begin{equation}
 h(x, \theta)Rsen(\theta)=0
\end{equation}

Basta escolher um $\theta$ qualquer para que $sen\theta \neq 0 $. isso impõe que para qualquer $x$ e qualquer $\phi$, $h=0$. Logo, $h$ é uma função identicamente nula. Ou seja, nossa primeira equação de vínculo da moeda rolando no plano $\dot{x}-R\dot{\phi}cos\theta=0$, então, se não admite um fator integrante, a equação acima é um vínculo efetivamente NÃO-HOLÔNOMO.

Fundamentalmente o que distingue os vínculos não-holônomos que envolvem velocidades, de vínculos holônomos, é que um vínculo não-holônomo, impõe restrições sobre as velocidades. Logo, a equação anterior, é uma restrição sobre os valores possíveis de $\dot{x},\dot{\phi}$, onde $\dot{\phi}$ é a velocidade angular da moeda em relação ao seu eixo de simetria, e $\dot{x}$ é uma das componentes da velocidade do centro da moeda. Como a equação $\dot{x}-R\dot{\phi}cos\theta=0$ não pode ser integrada, ela não é uma restrição sobre as coordenadas da moeda $(x.y.\phi,\theta)$. Como as equações não podem ser integradas, é porque elas apresentam restrições sobre as velocidades, que não podem ser reduzidas a restrições apenas sobre as coordenadas. Quando o vínculo pode ser integrado, então, este vínculo, na verdade, representa uma restrição nas coordenadas, como no caso do cilndro rolando ao longo de uma linha reta num plano horizontal, que caracteriza um rolamento sem deslizamento de uma moeda sobre uma supercície horizontal. Então, para dizer se este sistema é holônomo ou não-holônomo, é preciso considerar todos os vínculos juntos, fato que não fizemos. No caso, é como se os seguintes vínculos estivessem acoplados, ou seja:

\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\dot{x}- R \dot{\phi}cos\theta=0\\
\dot{y}-R\dot{\phi}sen\theta=0
\end{matrix}\right.
\end{equation}

O que mostramos foi que para as duas equações separadas, não existia um fator integrante. Mas a questão é que não trabalhamos com eles juntos, apenas de forma separadas. E os dois vinculos "juntoa"? As duas "coisas" valem ao mesmo tempo que a moeda rola sem deslizar. Pode acontecer de uma ocasião que tomando as equações juntas ou separadas, haja um fator integrante.

Questão resolvida: 

1.1 (livro: Mecânica Analítica: Nivaldo Lemos). Para decidir se um sistema é ou não holônomo precisamos considerar todos os vínculos ao mesmo tempo, pois os vínculos em conjunto podem ser integráveis embora cada um deles tomando isoladamente não seja integrável (Neimark & Fufaev 1972). Por exemplo, considere os vínculos:
 \begin{equation}
 \begin{matrix}
(x^2+y^2)dx+xzdz=0\\(x^2+y^2)dy+yzdz=0
\end{matrix}
\end{equation}

Cada um deles separadamente é não-integrável. (i) Prove, no entando, que juntos eles equivalem a:

\begin{equation}
\begin{matrix}
xd(x^2+y^2+z^2)=0\\d\ln \left ( \frac{y}{x} \right ) =0
\end{matrix}
\end{equation}

ii) Conclua que o sistema é holônomo com vínculos

\begin{equation}
\begin{matrix}
x^2+y^2+z^2=C_{1}\\ y=C_{2}x
\end{matrix}
\end{equation}

Resposta:




Podemos perceber claramente que, como as equações (26) não dependem da cordenada $\dot{q_{i}}$, então a única solução para h é a função identicamente nula. Logo, ela não tem um fator integrante e consequentemente não são vínculos holônomos. Isso, para o tratamento das equações individuais. O que vamos analisar aqui, é: E se as equações forem acopladas?

Das equações, temos:

\begin{equation}


(x^2+y^2)dx+xzdz=0 \Rightarrow
-zdz=\frac{x^2+y^2}{x}dx
\end{equation}

 substituindo na equação (2) da (27), temos:

\begin{equation}
(x^2+y^2)dy-y\frac{dx}{x}(x^2+y^2)=0  \Rightarrow  \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}=0
\end{equation}

Daí,

\begin{equation}
d(\ln y)-d(\ln x)=0 \Rightarrow d\left ( \ln\left ( \frac{y}{x} \right ) \right )=0
\end{equation}

Podemos ver também, que:

\begin{equation}
dx=\frac{x}{y}dy
\end{equation}

Substituindo na primeira equação da (27), temos:

\begin{equation}
 (x^2+y^2)\frac{x}{y}dy+xzdz=0\Rightarrow x\left ( \frac{x^2}{y}dy+ydy+zdz \right )=0
\end{equation}

Mas, $dx=\frac{x}{y}dy$, então:

\begin{equation}
x\left ( xdx+ydy+zdz \right )=xd\left ( x^2+y^2+z^2 \right )=0\end{equation}

Logo,

\begin{equation}
\begin{matrix}
xd(x^2+y^2+z^2)=0 & , d\ln\left ( \frac{y}{x} \right )=0
\end{matrix}
\end{equation}

ii) O vínculo é,

\begin{equation}
x^2+y^2+z^2=c_{1}
\end{equation}

e,

\begin{equation}
\ln\left ( \frac{y}{x} \right )=C_{2}
\end{equation}

Daí,

\begin{equation}
\ln\left ( \frac{y}{x} \right )=C_{2}\Rightarrow e^{\ln\left ( \frac{y}{x} \right )}=e^{C_{2}} \Rightarrow y=xe^{C_{2}}\Rightarrow y=Cx
\end{equation}

Logo, concluímos que o sistema é holônomo.