O princípio de d'Alembert parte 1.

Nessa postagem irei dedicar-me a escrever sobre o princípio de d'Alembert com as anotações das aulas do departamento de física da UFC.

O princípio de d'Alembert

 O deslocamento real é um deslocamento que cada partícula do sistema sofre num intervalo de tempo $dt$ de acordo com as equações de movimento do sistema. Mas por que considerar deslocamentos virtuais?

Imagine uma partícula restrita à uma superfície móvel.

fig (1):Deslocamento virtual e real de uma partícula em superfície móvel.

Suponha que na figura (1) temos a posição da partícula como função do tempo. Suponha também que depois a partícula vá num intervalo $t+dt$. Um deslocamento virtual é um deslocamento de uma posição sobre uma superfície até outra infinitesimalmente próxima no mesmo instante t. Deslocamentos virtuais vamos representar pela letra $\delta \boldsymbol{r}$ e os reais por $d\boldsymbol{r}$.

Suponha que a superfície esteja se movendo com uma velocidade $\boldsymbol{u}$ no instante $t$. De modo que, se a partícula se desloca de $\boldsymbol{a}$ até $\boldsymbol{b}$ e a superfície também está se movimentando, então o ponto $\boldsymbol{c}$ vai ser o ponto correspondente onde a partícula vai chegar, e o vetor $\boldsymbol{u}dt$ é o deslocamento infinitesimal que a superfície sofreu, porque ela vai está se movendo com velocidade $u$, então o deslocamento real será $d\boldsymbol{r}$. Logo, observe o seguinte: O deslocamento virtual $\delta\boldsymbol{r}$, como ele é feito a $t$ fixo, é um deslocamento de um ponto a outro da superfície no mesmo instante $t$, então esse vetor é tangente a superfície. Já $d\boldsymbol{r}$, em geral, não é. Se a superfície estiver fixa, $d\boldsymbol{r}$ se confunde com $\delta\boldsymbol{r}$ e ambos estão na mesma superfície, e ambos são tangentes à superfície. Mas em geral, o deslocamento real não é tangente a superfície e um deslocamento virtual é tangente a superfície sempre. Se a partícula está restrita à uma superfície lisa, a força que mantem a partícula sobre a superfície, a força de vínculo, é perpendicular a superfície. Se não há atrito, então não há forças paralelas às superfícies.

Logo, se a força de vínculo é perpendicular a superfície, durante um deslocamento virtual, o trabalho realizado pela força de vínculo é zero. Mas o trabalho no deslocamento real, geralmente não é zero. Porque o deslocamento real não é necessariamento tangente a superfície.

Então, a importância da consideração de deslocamentos virutais vem da observação de que, se a partícula está restrita a uma superfície idealmente lisa, mesmo que a superfície esteja em movimento ou esteja sofrendo deformações, o trabalho realizado pela força de vínculo (a força que a superfície faz sobre a partícula para manter a partícula sobre a superfície, é zero.

Vínculos que tem essa propriedade (de que o trabalho virtual da força de vínculo é zero), são chamados de vínculos ideais. Por exemplo, as forças de vínculos responsáveis pelo rolamento sem deslizamento de um corpo sobre uma superfície, também satisfazem a propriedade de que o trabalho virtual dessas forças, também são zero. A condição de um rolamento sem deslizamento de um corpo sobre uma superfície, é a condição de que a velocidade do ponto de contato do corpo com a superfície, seja zero. Isso é o que caracteriza um rolamento sem deslizamento.

Deslocamentos virtuais tem que ser compatíveis aos vínculos. Portanto, não alteram que a velocidade do ponto de contato do corpo com a superfície é zero. Logo, o deslocamento virtual corresponde a não deslocar o ponto de contato do corpo com a superfície. Se não há deslocamento, não pode haver trabalho, e nessa ocasião:

\begin{equation}
W=\boldsymbol{f_{i}}\cdot \delta \boldsymbol{r}
\end{equation}

O que definee vínculos ideais é a propriedade que o trabalho virtual é zero. Esse princípio consiste no seguinte: Se olharmos para um sistema de partícula em equilíbrio, a força resultante é zero.

Logo, o princípio dos trabalhos virtuais (estática) é o seguinte:

\begin{equation}
\boldsymbol{F_{i}}=0
\end{equation}

Agora é conveniente distinguir nessa força resultando, uma parte que é chamada de força aplicada ou força ativa. E a outra parte é a chamada força de vínculo. Podemos escrever o seguinte:

\begin{equation}
\boldsymbol{F_{i}}=\boldsymbol{F^{(a)}_{i}}+\boldsymbol{f_{i}}
\end{equation}

Onde $\boldsymbol{F^{(a)}_{i}}$ é a força aplicada e $\boldsymbol{f_{i}}$ é a força de vínculo. Se imaginarmos um pêndulo simples,

Dizemos que a força de vínculo é a tração do fio, porque mantém a massa sempre no ponto fixo de suspensão. O peso é a força responsável pelo movimento.

Para vínculos ideais, o trabalho realizado pelas forças de vínculos é 0. Logo, se $\delta \boldsymbol{r_{1}},\delta \boldsymbol{r_{2}},\delta \boldsymbol{r_{3}},...,\delta \boldsymbol{r_{n}}$, for o deslocamento virtual para cada partícula, então ´pdemos escrever:

\begin{equation}
\sum _{i=1}^n \boldsymbol{f_{i}} \cdot \delta \boldsymbol{r_{i}}=0
\end{equation}

Logo, para um sistema em equilíbrio, a força resultando na partícula é igual a zero. Logo, é óbvio que:

\begin{equation}
\sum _{i=1}^n \boldsymbol{F_{i}} \cdot \delta \boldsymbol{r_{i}}=0
\end{equation}

Ora, substituindo a equação (3) na equação (5), obtemos:


\begin{equation}
\sum _{i=1}^n(\boldsymbol{F^{(a)}_{i}}+\boldsymbol{f_{i}}) \cdot \delta \boldsymbol{r_{i}}=0
\end{equation}

E usamos o fato de que o trabalho virtual das forças de vínculo é zero, então:

\begin{equation}
 \sum _{i=1}^n\boldsymbol{F^{(a)}_{i}} \cdot \delta \boldsymbol{r_{i}}=0
\end{equation}


A equação (7) é uma equação válida para qualquer sistema em equilíbrio estático, porém, é uma condição que só envolve as forças aplicadas, ou forças ativas. As forças de vínculos não entram mais aqui.


Da segunda lei de Newton, podemos escrever:

\begin{equation}
\boldsymbol{\dot{p_{i}}=\boldsymbol{F_{i}}=\boldsymbol{F^{(a)}_{i}}+\boldsymbol{f_{i}}}
\end{equation}

Daí, podemos escrever a equação (5) da seguinte maneira:

\begin{equation}
 \sum_{i} (\boldsymbol{\dot{p}}-\boldsymbol{F^{(a)}_{i}}) \cdot \delta \boldsymbol{r_{i}}=0
\end{equation}


A equação acima é o chmado princípio de d'Alembert. Essa equação é um passo que queremos seguir até as equações de Lagrange. As equações de Lagrange tem pelo menos duas vantagens em relação as equações Newtonianas de movimento de um sistema de partículas. Para descrever as equações Newtonianas de movimento de um sistema de partículas, precisamos usar o vetor posição de cada uma das partículas. Se o sistema estiver sujeito a vínculos, isso faz com que tenhamos que usar mais coordenadas que o necessário, pois se não há vínculos, essas coordenadas não são todas independentes. Na equação que dá o movimento de cada partícula, tem que entrar a força resultante sobre cada partícula. Ou seja, a soma das forças aplicadas ou ativas e as forças de vínculos.

A formulação Lagrangeana tem duas grande vantagens: Basta usar o número de coordenadas independentes ncessárias para descrever o movimento do sistema, e não usar aquelas várias variáveis redundantes que são as componentes do vetor posição de cada uma das partículas do sistema. E dois, na fomração lagrangeana, as forças de vínculos não entram. Só entram as forças ativas, que são as forças efetivamente responsáveis pelo movimento.

O princípio de D'Alembert são um passo nesse sentido, porque não entram as forças de vínculos, isso se os vínculos forem ideais. Mas ainda não são as palavras finais porque ainda aparece os deloscamentos virtuais de cada vetor posição de cada partícula. Esses deslocamentos não são independentes entre si. Logo, no princípio de D'Alembert, falta uma maneira de conseguir escrever em termos só das coordenadas independentes. Porém, esse princípio nos permite obter equações de movimento em vários casos. Mas nosso objetivo é mostrar que, partindo do princípio de d'Alambert, partindo da ideia de se utilizar apenas coordenadas independentes, que vai ser possível no caso em que todos os vínculos são holônomos, as eq's de d'Alembert, correspondem exatamente as equações de Lagrande, embora com "caras" completamente diferentes.

Logo, se os vínculos são holônomos, é possível introduzir um conjunto de coordenadas independentes, chamada coordenadas generalizadas, em termos dessas coordenadas, as eq's de d'Alembert assumem a forma das eq's de Lagrange.