Mas se lembrarmos da ondulatória:
\begin{equation}
\nu = \frac{\omega}{2\pi}
\end{equation}
Daí, substituindo a equação (2) em (1), e lembrando que $\hbar=\frac{h}{2 \pi}$, podemos escrever a equação (1) da seguinte maneira:
\begin{equation}
E = \hbar \omega
\end{equation}
Dessa forma:
\begin{equation}
\omega = \frac{E}{\hbar}
\end{equation}
Já em 1905, Einstein para explicar o fenômeno do efeito fotoelétrico, propõe uma extensão mais ousada da ideia de Planck e propõe que a luz, que até então era considerada de natureza ondulatória, seria na verdade formada por pequenas partículas, chamados de "quantum de luz", ou "fótons". Onde essa energia desses fótons, é dada por:
\begin{equation}
\omega = \frac{E}{\hbar}
\end{equation}
Da Teoria da relatividade, podemos dizer que se tivermos uma partícula sem massa, o momento dela pode ser escrito como:
\begin{equation}
P=\frac{E}{c}
\end{equation}
Se mais uma vez lembrarmos da teoria ondulatória, sabemos que a velocidade da luz, c, pode ser escrito em termos da frequência de de seu comprimento de onda, ou seja:
\begin{equation}
c= \lambda \nu
\end{equation}
Substituindo a equação (7) na equação (6), obtemos:
\begin{equation}
P = \frac{h \nu}{c} \Rightarrow P=\frac{h \nu}{\lambda \nu} \Rightarrow P=\frac{h \nu}{\lambda \nu} \Rightarrow P= \frac{h}{\lambda}
\end{equation}
Mas como $\lambda = k/2\pi$, podemos escrever a equação acima da seguinte maneira:
\begin{equation}
P=\frac{h}{\frac{2 \pi}{k}}\Rightarrow P = \hbar k
\end{equation}
Já em 1923, de Broglie, em sua tese de doutorado, explicou como a matéria tem sua natureza dual, logo ela é onda ($\lambda$) e partícula $(P)$. Dessa forma, as expressões anteriores continuam válidas.
Já em 1926, Erwin Schrodinger, explica que de fato não entende a teoria de De broglie. Nessa época Schrodinger é convidado a ministrar um colóquio sobre essa teoria. Nessa preparaçao desse colóquio de física, Shcrodinger formulou a famosa
Teoria Ondulatória.
Na teoria ondulatória, uma onda pode ser descrita como:
\begin{equation}
\Psi(x,t)=A e^{ikx} e^{-iwt}
\end{equation}
Lembrando da
equação (4), podemos escrever a
equação (10), da seguinte maneira:
\begin{equation}
\Psi(x,t) = A e^{ikx} e^{-i\frac{E}{\hbar}t}
\end{equation}
Dessa forma, a primeira derivada em função do tempo, encontraremos:
\begin{equation}
\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=\left ( Ae^{ikx} \right )\left ( -i\frac{E}{\hbar}e^{-i\frac{E}{\hbar}} \right )
\end{equation}
Substituindo a equação (11) na (12), podemos escrever:
\begin{equation}
\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = - i \hbar E \Psi(x,t)
\end{equation}
Multiplicando a equação (13) por $i\hbar$, e lembrando que $i^{2}= -1$, a equação (13), se torna:
\begin{equation}
i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = E \Psi(x,t)
\end{equation}
Agora, tomando a derivada segunda em relação a posição, podemos escrever:
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}=-Ak^{2}e^{ikx}e^{i\frac{E}{\hbar}t} \Rightarrow \frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} = - k^{2}\Psi(x,t)
\end{equation*}
Daí, podemos escrever:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + k^{2}\Psi(x,t)=0
\end{equation}
Agora vamos ilustrar os dois casos.
Partícula livre.
Tínhamos que:
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + k^{2}\Psi(x,t)=0
\end{equation*}
Mas se lembrarmos, foi dito que:
\begin{equation}
k² = \frac{P^{2}}{\hbar^{2}}
\end{equation}
Substituindo na equação acima, temos:
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + \left (\frac{P^{2}}{\hbar^{2}} \right )\Psi(x,t)=0
\end{equation*}
Multiplicando o lado esquerdo da equação por $2m/2m$, temos:
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + \frac{2m}{\hbar^{2}}\left (\frac{P^{2}}{2m} \right )\Psi(x,t)=0
\end{equation*}
Se lembrarmos da mecânica clássica, $E={P^{2}/{2m}}$. Daí:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + \frac{2m}{\hbar^{2}}(E)\Psi(x,t)=0
\end{equation}
Dessa forma:
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} =- \frac{2m}{\hbar^{2}}(E)\Psi(x,t)
\end{equation*}
Isolando $E\Psi$, podemos escrever:
\begin{equation}
-\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} =E\Psi(x,t)
\end{equation}
Dessa forma, igualando a equação (18) e a equação (14), temos:
\begin{equation}
i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}
\end{equation}
Partícula com um potencial V
Há uma relação entre a ótica e a mecânica, formulado por Hamilton, que nos diz que a trajetória de uma partícula no espaço sobre a influência de um potencial $V$ é análoga a trajetória de um raio de luz com índice de refração $n$. Logo, no caso da mecânica, o equivalente do índice de refração, é:
\begin{equation}
n=\sqrt{1-\frac{V}{E}}
\end{equation}
Logo, se lembrarmos mais uma vez da ondulatória, o número de onda em um meio diferente do vácuo (como por exemplo em um vidro), pode ser escrito como:
\begin{equation}
k = n k_{0}
\end{equation}
onde $k_{0}$ é o número de onda no vácuo. Logo:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + n^{2}k_{0}^{2}\Psi(x,t)=0
\end{equation}
Perceba que o termo $k$, descrito na equação (15) foi escrito como o termo da equação (21). Logo, podemos escrever:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + \left (1-\frac{V}{E} \right )k_{0}^{2}\Psi(x,t)=0
\end{equation}
Lembrando que $k=P/\hbar$. Dessa forma, multiplicando toda a equação por $2m/2m$, temos:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + \left (1-\frac{V}{E} \right )\left ( \frac{2m}{2m} \right )\left (\frac{P^{2}}{\hbar^{2}} \right )\Psi(x,t)=0 \end{equation}
Logo, reorganizando e lembrando que $E=P^{2}/\hbar^{2}$, podemos escrever:
\begin{equation*}
\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + \left (1-\frac{V}{E} \right )\left (\frac{2mE}{\hbar^{2}} \right )\Psi(x,t)=0
\end{equation*}
Daí, multiplicando por $-\hbar^{2}/2m$, depois fazendo a distributiva, temos:
\begin{equation*}
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + E\Psi(x,t)-\frac{V}{{E}}{E}\Psi(x,t) = 0 \end{equation*}
Logo:
\begin{equation}
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + E\Psi(x,t)-V\Psi(x,t) = 0 \end{equation}
Isolando $E\Psi(x,t)$, temos:
\begin{equation}
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V\Psi(x,t) = E \Psi(x,t)
\end{equation}
Dessa forma, igualando a equação (26) e a equação (14), podemos escrever:
\begin{equation}
i\hbar \frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x,t)\Psi(x,t)
\end{equation}
Que é a famosa equação de Schrodinger.
Logo, mostramos uma maneira alternativa de demonstrar a equação de Schrodinger a partir de descobertas anteriores.
É
importante destacar que essas anotações foram feitas a partir das aulas
do YouTube do professor Juan Martin Otalora Goicoche. Você podem
assistir essas vídeoaulas clicando no link encurtador.com.br/vEFOP.
Até mais. :) 
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