Questões resolvidas sobre série de Fourier.

Nessa postagem iremos resolver um exercício bastante simples, porém, bem datalhado de série de Fourier. Em outra postagem havia discutido detalhadamente essa série e sua importância, porém, não resolvi nenhum exercício. Dessa forma, vamos ao que interessa.

1. Encontre a série de Fourier para a seguinte função. 

a) $f(x) = x^{2}$

Para encontrar o valor dessa série, primeiramente lembre-se da primeira definição que fizemos da série de Fourier, ou seja: 

\begin{equation}
 f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty } \left [  a_{n}cos(nx) + b_{n}sen(nx) \right]
\end{equation}
 Lembre-se também, que para encontrar essa série, é necessário achar seus respectivos coeficiente. Eles são facilmente calculados pelas seguintes fórmulas: 

\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
a_{0} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx\\
a_{n} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx
\\
b_{n} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sen(nx)dx
\end{matrix}\right.
\end{equation}
Dessa forma, vamos calcular os respectivos coeficientes.Logo, calculando $a_{0}$, temos:

\begin{equation}
 a_{0}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x^{2}dx
\end{equation}

Dessa forma: 

\begin{equation*}

a_{0}= \frac{1}{\pi}\left. \frac{x^{3}}{3} \right \}_{-\pi}^{\pi} \Rightarrow a_{0} = \frac{1}{3\pi}\left ( \pi^{3} + \pi^{3} \right ) \Rightarrow a_{0}=\frac{2\pi^{2}}{3}
\end{equation*}

Logo: 

\begin{equation}
a_{0}=\frac{2\pi^{2}}{3}
\end{equation}

Agora vamos encontrar o valor de $a_{n}$. 

\begin{equation}
a_{n} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx \Rightarrow a_{n} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}cos(nx)dx
\end{equation}

Para resolver a respectiva integral, precisamos lembrar da técnica de integração por partes, ou seja, podemos simplesmente escrever:

\begin{equation}
\int{u dv} = uv - \int{v du}
\end{equation}

Mas quem escolher para ser o "u" ou o "v"? Eu uso uma técnica que aprendi em um vídeo para decorar, basta lembrar da palavra LIATE. Ou seja, para escolher quem será o "u", usamos sempre da primeira para a última palavra. LIATE significa que:

 L - Logarítimicas
 I - Inversas
 A - Aritiméticas (que é o caso do $x^{2}$)
 T - Trigonométricas (que é o caso  do $sen(nx)$)
 E - Exponenciais.

Assim, é conveniente adotar as seguintes considerações:

\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
u = x^{2} \Rightarrow du = 2xdx \\
dv = cos(nx)dx \Rightarrow v= \frac{sen(nx)}{n}
\end{matrix}\right.
\end{equation}

 Dessa forma, substituindo na equação (8), temos: 


$$\int_{-\pi}^{\pi} x^{2}cos(nx)dx = \frac{x^{2}sen(nx)}{n}|_{-\pi}^{\pi} - \frac{2}{n}\int_{-\pi}^{\pi}xsen(nx)dx$$


Perceba que, 

\begin{equation}
 \frac{x^{2}sen(nx)}{n}|_{-\pi}^{\pi}=0\end{equation}

Pois para qualquer valor de $n$ inteiro, o $sen(nx)=0$.

Dessa forma:

\begin{equation}
\int^{\pi}_{-\pi}x^{2}cos(nx)dx=-\frac{2}{n}\int_{-\pi}^{\pi}xsen(nx)dx
\end{equation}

Aplicando mais uma vez integrais por partes:

\begin{equation*}
\int{u dv} = uv - \int{v du}
\end{equation*}

e chamando de:

\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
u' = x \Rightarrow du' = dx \\
dv' = sen(nx)dx \Rightarrow v'= \frac{-cos(nx)}{n}
\end{matrix}\right.
\end{equation}

Dessa forma, teremos:

\begin{equation}
\frac{2}{n} \int_{-\pi}^{\pi}xsen(nx)dx= \frac{2}{n}\left \{ \left [ \frac{-xcos(nx)}{n} \right]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)dx  \right \}
\end{equation}

Perceba que:

\begin{equation}
\frac{1}{n}\int_{-\pi}^{\pi}cos(nx)dx = 0
\end{equation}

Dessa forma:

\begin{equation}
\frac{2}{n} \int_{-\pi}^{\pi}xsen(nx)dx= \frac{2}{n^{2}}\left [ -2 \pi cos(nx) \right ]
\end{equation}

ou, mais precisamente, da equação (9) e a equação (13), podemos escrever:


\begin{equation}
\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}cos(nx)dx = - \frac{4}{n^{2}}\pi cos(n\pi)
\end{equation}

Tínhamos que:

\begin{equation}
a_{n} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}cos(nx)dx
\end{equation}

Portanto:

\begin{equation*}
a_{n} = \frac{1}{\pi} \frac{4}{n^{2}}\pi cos(n\pi)
\end{equation*}

Simplificando, temos:

\begin{equation}
a_{n} = -\frac{4}{n^{2}}cos(n\pi)
\end{equation}

Perceba que cos(n \pi) pode ser escrito por 

$$cos(n \pi) = (-1)^{n}$$ 

 Logo,


\begin{equation*}
a_{n} =\frac{4}{n^{2}}(-1)^{n}
\end{equation*}

Agora seguinte, percebe que $x^{2}$ é uma função par, e que $sen(nx)$ é uma função ímpar. Como tinha discutido na postagem sobre série de fourier, um produto entre um função par e uma função ímpar, resulta em uma função ímpar. A importância, como já tinha discutido, é que a integral de uma função ímpar em intervalos simétricos, vale $0$. Dessa forma, podemos afirmar que:

\begin{equation*}
b_{n} = 0
\end{equation*}

Dessa forma, se lembrarmos da nossa definição da série de Fourier:

\begin{equation}
 f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty } \left [  a_{n}cos(nx) + b_{n}sen(nx) \right]
\end{equation}

Com $b_{n}=0$ e se lembrarmos dos resultados do $a_{0}=(2/3)\pi^{2}$, podemos escrever:

\begin{equation}
 f(x) = \frac{(2/3)\pi^{2}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty } \left [  \frac{4(-1)^{n}}{n}cos(nx)\right]
\end{equation}

Simplificando o 2, obtemos a respectiva série de Fourier.

\begin{equation}
 f(x) = \frac{\pi^{2}}{3} + 4\sum_{n=1}^{\infty } \left [  \frac{(-1)^{n}}{n}cos(nx)\right] = x^{2}
\end{equation}