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| Isaac Newton (1643 - 1727) |
Hoje decidi escrever sobre um assunto muito importante para todo o âmbito da Física: Trabalho e Energia. Minha principal motivação se baseia no senso comum em que muitos alunos interpretam de maneira equivocada esses conceitos que são tão relevantes. Muitas vezes os próprios universitários não se preocupam com os conceitos que estão trabalhando e se satisfazem, na maioria das vezes, com a aplicação dos cálculos envolvidos sem levar em consideração o núcleo da questão, que é entender a evolução das ideias dos conceitos que usam. Como afirma (Jammer, 2011, p. 21):
Enfraqueceu-se o argumento frequente que o cientista pouco se interessa pela história dos conceitos que usa. A física moderna atribui grande importância à formação de conceitos. Antes tido como monopólio de historiadores da ciência que se debruçavam sobre os tempos antigos ou de epistemólogos pedantes, o problema de conceitos na teoria científica adquiriu importância vital nas pesquisas modernas.
Logo, Max Jammer enfatiza a importância dos cientistas entenderem os conceitos que a física trabalha. Não podemos largar mãos dos conceitos e simplesmente matematizar tudo o que vemos pela frente. É um erro grave. O físico deve ter muita cautela ao desenvolver um trabalho acadêmico.
É bastante comum para muitos alunos que a interpretação de trabalho seja como um exercício físico ou mental. Não se deve confundir a definição física de trabalho com o significado cotidiano de trabalho. Há uma definição que considero bastante precisa. De acordo com o livro Física Conceitual (livro que muitos estudantes da licenciatura e bacharelado deveriam conhecer), que diz: "Trabalho é o esforço exercido sobre algo que fará sua energia variar", ou simplesmente, trabalho é a transferência de energia. Prestem bem atenção, definimos um conceito físico chamado "trabalho" em termo de outro conceito físico denominado "energia". Mas vamos com calma. Vamos começar com a seguinte pergunta: Como esse conceito (de trabalho) pode nos ajudar? Teremos que voltar e entender qual é a essência da mecânica newtoniana.
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| Nosso querido Moyses Nussenzveig |
A mecânica criada por Newton se tornou parte de uma corrente filosófica chamada
determinismo. Isso significa que podemos prever, sabendo as forças que atuam em um corpo, para onde corpo vai em qualquer instante futuro. Então a mecânica newtoniana lida exatamente com essa ideia de
prever o futuro. Quando estava estudando um pouco sobre gravitação no primeiro semestre pelo livro "Física Básica 1" do nosso querido
Moyses Nussenzveig, nunca esqueci de uma frase de Pierre Simon Laplace que foi citada em seu livro, que dizia:
Devemos... considerar o presente estado do universo com o efeito de seu estado anterior e causa do que se vai seguir. Se imaginarmos por um instante uma inteligência que pudesse conhecer todas as forças de que a Natureza é animada e as posições respectivas dos corpos com a compõem - uma inteligência suficientemente vasta para submeter esses dados à análise - ela compreenderia na mesma fórmula os movimentos dos maiores corpos do universo e os do átomo mais minúsculo; para ela, nada seria incerto e o futuro, bem como o passado, estariam presentes à sua visão. A mente humana oferece, na perfeição que foi capaz de dar à astronomia, um exemplo modesto do que seria essa inteligência.
Esse texto me deixou sem fôlego. Foi ali que, pela primeira vez na minha vida, eu entendi o poder da mecânica newtoniana e da mente humana. Uma reflexão que fiz na época foi "como pode existir uma mente humana que, basicamente sozinha, realizou vários trabalhos no qual propôs prever o futuro e o passado de toda a natureza?" Refleti muito sobre esse texto de Laplace. Questionei até minha posição agnóstica me perguntando se existia uma divindade no qual colocava alguns humanos na Terra só para brincar com nossa inteligência.
Agora tentarei explicar sob outro ponto de vista mais matemático e menos filosófico. Um dos problemas fundamentais da dinâmica é determinar como se moverá uma partícula, conhecidas as forças que atuam sobre ela. Um caso particular, é que se o movimento for unidimensional, precisamos determinar o nosso famoso $x(t)$, ou em outras palavras, como a posição está variando no tempo. O método que geralmente é usados nos cursos de física básica é: Determina-se a força resultante $\textbf{F}$ que atua na partícula, a partir da lei de força adequada; o valor da segunda lei de Newton nos permite encontrar a aceleração da mesma:
$$\textbf{a}=\textbf{F}/m$$
Se $\textbf{F}$ for constante, ou seja, que a força não aumenta nem diminui com o passar do tempo, podemos simplesmente determinar a velocidade da partícula utilizando uma equação bastante simples da cinemática:
$$v = v_{0} + at$$
E, dessa forma podemos usar outra equação da cinemática que nos diz:
$$x = v_{0}t +\frac{1}{2}at^{2}$$
Essa última equação nos fornece a informação que em geral é desejada: a posição da partícula em função do tempo.
A questão é que o problema se complica quando as forças que agem sobre a partícula não são constantes. Assim não podemos utilizar mais as equações acima e precisamos usar as técnicas de integração.
Quis mostrar isso porque nos possibilita enxergar que as mudanças do movimento de um determinado objeto depende tanto da força como de quão "longo" é sua atuação. O "quão longo" nesse caso significa tempo. Nessa situação, temos a seguinte quantidade "Força x tempo" que denominamos de impulso. Mas, não necessariamente o "quão longo" precisa ser tempo. Pode ser distância. Nesse caso temos a grandeza "Força x distância", que denominamos de trabalho.
Quando erguemos uma carga contra a gravidade da Terra, estamos realizando um trabalho. Quanto mais pesada for a carga e mais alta ela for erguida, realizaremos mais trabalho. Isso porque a Força é proporcional à massa. Quanto maior a massa, mais força será necessária para colocar o objeto em movimento. Já a afirmação "quanto mais alta ela for erguida maior o trabalho" é justificado pelo fato de que o trabalho depende proporcionalmente da distância em que a carga for erguida, ou seja, a sua respectiva altura. Dois ingredientes são relevantes quando falamos que um trabalho é realizado: 1. A aplicação de uma força e 2 O movimento de alguma coisa pela força aplicada. No caso mais simples é quando consideramos que a força é constante. Nesse caso definimos o trabalho como sendo o produto da força pela distância, ou matematicamente falando:
$$W = Fd $$
Onde $W$ representa trabalho, $F$ força e $d$ distância.
Observe com bastante atenção a figura 7.1 e a figura 7.2. se elevarmos para o andar de cima duas cargas idênticas estaremos realizando o dobro do trabalho que faz quando levamos apenas uma delas. É óbvio. Como mostramos isso matematicamente? Ora, é muito simples. Se o trabalho é $W_{1}=Fd$ e $F=mg$, então, $W_{1}=mgd$, claro que nessa equação estou considerando que só temos uma carga. No caso se for duas cargas, é obvio que: $W_{2}=2mgd$. Logo, como temos $W_{1}=mgd$, então. $W_{2}= 2W_{1}$. Logo, vemos simplesmente que realizamos o dobro de trabalho quando levamos apenas uma carga. E se dobrarmos a distância e a quantidade de carga? O trabalho realizado quadruplica.
O trabalho basicamente se divide em duas categorias: 1) O trabalho realizado contra outra força e 2) O trabalho realizado para alterar a velocidade de um objeto. Por exemplo, quando um arqueiro realiza trabalho contra as forças elásticas no arco, ele está se referindo a categoria 1 ou 2? É claro que ele se refere a 1. E se caso for um carro desacelerando? É óbvio que me refiro ao $2$ caso.
Outro ponto importante é que precisamos entender as unidades de medidas do trabalho. De acordo com Física conceitual:
A unidade de medida para trabalho combina uma unidade de força (N) com
uma unidade de distância (m); a unidade de trabalho, então, é o newton-metro
(N.m), também chamada de joule (J). Um joule de trabalho é realizado quando
uma força de 1 newton é exercida ao longo de uma distância de 1 metro, como ao erguer uma maçã sobre sua cabeça.
É sempre importante entendermos as unidades de medidas que estamos trabalhando.
Uma pergunta interessante que pode surgir, é: "O trabalho pode ter sinal negativo?". A resposta é curta e simples: Sim. O trabalho pode ser negativo. Quando a força que atua no corpo não é na mesma direção e sentido do deslocamento, definimos o trabalho como sendo um produto escalar. Ou seja, $$W = \textbf{F} \cdot \textbf{d}$$. É fácil ver que se a força aplicada faz um ângulo obtuso com o vetor $d$, o trabalho será negativo.
Eu sempre chamo atenção para um ponto. Muitos estudantes interpretam o trabalho como esforço. No sentido vulgar e cotidiano da palavra, está correto. Mas no sentido físico não. Por exemplo, se uma pessoa está parada com um suporte de peso (no qual ele não desloca esse suporte para cima nem para baixo) é comum dizer que ele está realizando um trabalho árduo, mas nesse caso ele está se referindo ao trabalho no sentido fisiológico, e não trabalho físico.
Até aqui tratamos o trabalho de um força $\textbf{F}$ constante. E o que acontece no caso bidimensional com uma força variável?
Bom, a matemática utilizada dificulta um pouco, mas não é difícil. A ideia é a mesma. Veja a figura 3. Temos a trajetória do corpo e um força $F$ que varia seu sentido, direção e sua intensidade. Para representar o trabalho realizado aqui nessa situação, iremos somar todas as componentes do vetor $F$ na direção do vetor $\Delta r$. Dessa forma, temos o seguinte:
\begin{equation}
W_{ab} = \int _{a}^{b} \vec{F} \cdot d\vec{r}
\end{equation}
Logo, o trabalho realizado do ponto a ao ponto b da figura (3) é representado por uma integral de linha. Bom, que tal realizarmos dois breves exemplos?
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| figura 1. |
Questão 1: Um garoto puxa um trenó até uma distância $d$ ao longo de uma superfície horizontal com velocidade constante. Essa superfície tem um coeficiente de atrito cinético $\mu_{c}$ Que trabalho ele realiza sobre o trenó?
Ora, essa questão é bastante simples. A primeira coisa que fazemos quando resolvemos uma questão de dinâmica, envolvendo as leis de Newton, é desenhar um diagrama de forças, como mostra a figura (1). Onde $P$ é a força que o menino puxa o trenó e $w$ a força peso (por favor, não confundir). Vamos lembrar da definição do trabalho.
\begin{equation}
W = \textbf{P} \cdot \textbf{d}
\end{equation}
Onde estamos calculando o trabalho realizado pela força externa $P$. Dessa forma, precisamos determinar $P$ pelo diagrama do corpo livre. Dessa forma:
em x, temos:
\begin{equation}
P cos \phi - f = 0
\end{equation}
Pois lembre-se que o menino está puxando o trenó com velocidade constante, portanto, a aceleração é $0$.
Em y, temos:
\begin{equation}
P sen \phi + N - P = 0
\end{equation}
E lembre-se que:
\begin{equation}
f = \mu_{c}N
\end{equation}
Da equação (3), tiramos que $N$, vale:
\begin{equation}
P cos \phi = \mu N \Rightarrow N = \frac{Pcos \phi}{\mu_{c}}
\end{equation}
Substituindo (6) em (4), temos:
\begin{equation}
P sen \phi + \frac{Pcos \phi}{\mu_{c}} = w
\end{equation}
Daí,
\begin{equation}
P \left ( sen \phi + \frac{cos \phi}{\mu_{c}} \right ) = w
\end{equation}
Tirando o mínimo multiplico comum,
\begin{equation}
P \left ( sen \phi + \frac{cos \phi}{\mu_{c}} \right ) = w
\end{equation}
Logo,
\begin{equation*}
P\left ( \mu _{c} sen \phi + cos\phi \right ) = \mu_{c}w
\end{equation*}
Daí, o valor de $P$, é:
\begin{equation}
P =\frac{ \mu_{c}w} {\left ( \mu _{c} sen \phi + cos\phi \right )}
\end{equation}
Daí, o trabalho realizado é:
\begin{equation}
W = \textbf{P} \cdot \textbf{d} \Rightarrow W = Pdcos\phi
\end{equation}
Substituindo (10) em (11):
\begin{equation}
W =\frac{ \mu_{c}w d cos(\phi)} {\left ( \mu _{c} sen \phi + cos\phi \right )}
\end{equation}
como $w$ é o peso, podemos escrever:
\begin{equation}
w = mg
\end{equation}
Daí,
\begin{equation}
W =\frac{ \mu_{c}mg d cos(\phi)} {\left ( \mu _{c} sen \phi + cos\phi \right )}
\end{equation}
que é o resultado da respectiva questão.
Questão 2. Qual o trabalho realizado por uma sistema massa-mola unidimensional?
Bom, vamos lembrar da definição na forma integral do trabalho realizado:
\begin{equation}
W_{ab} = \int _{a}^{b} \vec{F} \cdot d\vec{r}
\end{equation}
Como estamos em 1 dimensão, o produto escalar resulta:
\begin{equation}
W = \int_{x_{1}}^{x_{2}} F(x) dx
\end{equation}
Ora, se a força exercida na mola é dada pela lei de hooke, temos:
\begin{equation}
W = \int_{0}^{x} kx dx
\end{equation}
Lembre-se que o sentido da força dada pela lei de hooke é sempre oposto ao deslocamento, por isso a equação acima fica positiva. Dessa, o trabalho realizado, é:
\begin{equation}
W = \frac{1}{2}kx^{2}
\end{equation}
Teorema Trabalho-Energia
Vamos inicialmente discutir as equações. Bom, tínhamos que:
\begin{equation}
W_{ab} = \int _{a}^{b} \vec{F} \cdot d\vec{r}
\end{equation}
Porém, da segunda lei de Newton, temos:
\begin{equation}
\vec{F}=m\vec{a}
\end{equation}
Mas:
\begin{equation*}
a=\frac{\mathrm{d}\vec{v} }{\mathrm{d} t} \Rightarrow
\end{equation*}
Daí:
\begin{equation*}
a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} x}\frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d} t}
\end{equation*}
\begin{equation*}
a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} x}v
\end{equation*}
Daí, podemos escrever:
\begin{equation*}
a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d} x}v
\end{equation*}
\begin{equation*}
W_{ab} = \int _{a}^{b} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{x_{0}}^{x}mv \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}dx = \int_{v_{0}}^{v}mv dv = \frac{1}{2}mv^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}
\end{equation*}
Ou, da menira mais simples:
\begin{equation}
W_{resultante} = K - K_{0} = \Delta K
\end{equation}
Essa equação é conhecida como trabalho-energia de uma partícula.
Deste resultado acima, podemos ver facilmente que se a velocidade da partícula for constante, o trabalho resultante será igual a zero. Um exemplo, no movimento circular uniforme, a velocidade da partícula tem módulo constante. Logo, a força centrípeta não realiza trabalho sobre a partícula. Diz-se que a energia cinética de um corpo em movimento é igual ao trabalho que ele pode realizar ao ser parado.
(este texto está em atualização)
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