A braquistócrona foi um problema publicado pelo matemático Johann Bernoulli, com o objetivo de desafiar e engajar a comunidade científica da época. O problema consistia em determinar a curva ao longo do qual uma partícula, somente com a influência da gravidade, se moveria de um ponto a outro no menor tempo possível. Esse problema não só atraiu grandes mentes como Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), Christian Huygens (1629-1695), Isaac Newton (1642-1727), Jacob Bernoulli (1654-1705) e Guillaume François l'Hôpital (1661-1704), mas também contribuiu de forma expressiva para o cálculo variacional, que é a base da mecânica analítica. Este problema foi responsável por constituir um dos diálogos mais belos e elegantes entre a matemática e a natureza.
A palavra "braquistócrona" é composta por dois radicais gregos, brakhisto, que significa "o menor'' e "chronus" que significa tempo. Logo, o termo pode ser traduzido literalmente como "o tempo mais curto", trazendo a tona o problema proposto por Jean Bernoulli. A curva que resolve este problema ficou conhecida como ciclóide, e demonstrou-se experimentalmente como a trajetória que minimiza o tempo de descida entre dois pontos. Diversos experimentos podem ser encontrados na web, relatando este importante resultado que é completamente anti-intuitivo.
Esta postagem tem como objetivo discutir sobre a publicação, mostrando os artigos originais, e explicar uma das soluções deste problema que foi publicado por Jacob Bernoulli. No entanto, outras grandes mentes, como Isaac Newton e o próprio Gottfried Leibniz, também resolveram este mesmo problema.
Agora, com o advento da inteligência artificial, ficou mais acessível realizar possíveis traduções para os documentos. Isso foi um dos fatores motivadores para realizar esta publicação. A explicação da solução do problema foi retirada de dois trabalhos brasileiros [1, 2] e da própria revista de publicação dos anos de 1697, no entanto, o problema foi resolvido ainda em 1696, na época de sua publicações.
1. Sobre a publicação do problema
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A imagem acima mostra que JOH. BERNOULI publica alguns problemas sobre matemática. A tradução que está no texto, é: "9OH. BERNOULLI SUPLEMENTO DEFEITOS DA GEOMETRIA CARTESIANA sobre a Descoberta de Lugares. Algumas anotações nos Esboços Leibnizianos de G. W. Leibniz, publicados no final de Novembro. Sobre o Aplanamento de Superfícies Conoides e Esferoides. Um novo problema proposto aos matemáticos." Na parte "um novo problema proposto aos matemáticos é que se encontra o problema da braquistócrona.
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Ainda é chocante para quem tem um conhecimento mais aprofundado sobre física, que a data de publicação deste problema já tenha quase 330 anos. Publicado em Junho 1696, o matemático Jean Bernoulli resolve divulgar este problema na revista Acta Eroditorum [3], fundada por Gottfried Wilhelm Leibniz (Resolvi colocar aqui a referência da revista para vocês terem a oportunidade de analisarem e verem com os próprios olhos em uma qualidade infinitamente superior. Basta procurar a página 269 deste documento. Clique no link [3] e se delicie!) desafiando as grandes mentes da época. O problema, como se pode ver nas imagens abaixo, relatava, em latim:
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Revista Acta Eroditorum [3], fundada por Gottfried Wilhelm Leibniz
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| O problema se refere à figura 5. |
Reproduzindo o texto da imagem acima:PROBLEMA NOVUM,
ad cujus Solutionem Mathematici invitantur.
Datis in plano verticali duobos punctis A et B, assignare mobili M viam AMB, per quam gravitate sua descendens, et moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniant ad alterum punctum B.
Ur harum rerum amatores infligentur & propenfori animo ferantur ad tentamen hujus problematis, feiant non confiltere in nuda fpeculatione, ut quidem videtur, ac fi nullum haberet ullum ; habet enim maximum etiam in aliis feientiis quam in mechanicis, quod nemo facile crediderit. Interim (ut forte quorundam precipiti judicio obvi-am eam ) quanquam rec'a AB fit breviflma inter terminos' A & B, montamen illa breviflmo tempore percurritur ; fed elt curva AMB Geometris notisfima, quam ego nominabo, fielapfo hocanno nemo alius eam nominayerit.
Cuja tradução realizada na inteligência artificial do deepseek, resulta:
NOVO PROBLEMA
Para cuja solução os matemáticos são convidados.
Dados, em um plano vertical, dois pontos A e B, determinar para um móvel M a trajetória AMB, pela qual, descendo por ação de sua própria gravidade e começando a se mover do ponto A, ele chegue ao outro ponto B no menor tempo possível.
Os amantes das coisas difíceis são impelidos e levados por um espírito ansioso a tentar resolver este problema, mas não devem se deter em meras especulações, como de fato parece, como se não tivesse nenhuma importância; pois tem grande importância mesmo em outras ciências além da mecânica, o que ninguém facilmente acreditaria. Enquanto isso (para talvez contrariar o julgamento precipitado de alguns), embora a linha reta AB seja a mais curta entre os pontos A e B, no entanto, ela não é percorrida no menor tempo; mas há uma curva AMB, bem conhecida pelos geômetras, que eu nomearei, se neste ano ninguém mais a tiver nomeado.
A questão era elegante e simples de entender, mas difícil de resolver!. Em outras palavras, o problema era: Qual a forma deveria ter uma trajetória sobre qual uma partícula deslizaria, partindo do repouso e sob ação apenas da gravidade, levando o menor tempo possível para atingir um outro ponto mais baixo desta trajetória?
A resposta foi encontrada por vários matemáticos, incluindo Isaac Newton, que realizou uma publicação anônima na revista philosophical transactions [Clique aqui para obter o artigo!] em 1689. Nessa época, havia muita rivalidade entre os matemáticos citados acima, porque a família Bernoulli, mais especificamente Jacob Bernoulli se achava o maior matemático de todos. Inclusive, Newton já estava afastado dos problemas de física ou matemática há algum tempo e já estava trabalhando na Royal Mint como guardião da casa da moedas. Newton simplesmente resolve o problema em uma noite ainda afirma a fatídica frase: "i do not love to be dunned and teased by foreigners" ("eu não gosto de ser importunado e provocado por estrangeiros"), alegando ser um problema trivial, já que conseguiu resolvê-lo em apenas uma noite, e claro, mais uma vez alfinetando os irmãos Bernoulli. (Abaixo mostro as imagens da publicação de Newton).
Newton não gostou nem um pouco do desafio, mas, mesmo assim, resolveu-o. Reza a lenda que, quando Johann Bernoulli viu a solução publicada de forma anônima e manuscrita, ele teria dito: "
I recognize the lion by his claw" ("Reconheço o leão pelas suas garras"). Não sabemos ao certo se essa história é verdadeira, mas trata-se de uma bela anedota [
5].
Apesar de termos citado que Newton resolveu este problema, vamos focar na solução obtida por Jacob Bernoulli, que foi publicada em maio de 1697, na Acta Eroditorum.
A contextualização do problema
Tal qual a publicação do problema, em 1697 foi realizada a primeira publicação oficial por Jacob Bernoulli na Acta Eroditorum.
Referências
1. COELHO, Rejeane Alexandre.
A história dos problemas da tautócrona e da braquistócrona. 2008. 104 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2008. Disponível em:
https://encurtador.com.br/jRiTG. Acesso em:
15/03/2025
2.
DE ANDRADE, M. A.; FERREIRA FILHO, L. G. Uma abordagem geométrica ao problema da braquistócrona. Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 37, n. 2, p. 2309, 2015. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173721786 . Acesso em: 15/03/2025.
4. Solutio problematum fraternorum, peculiari programmate cal. Jan. 1697 Groningæ, nec non Actorum Lips. mense Jun. & Dec. 1696, & Febr. 1697 propositorum: una cum propositione reciproca aliorum.
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