um estudo importante: Movimento sob força da mola.

Boa noite, galera!

Hoje, nada mais nada menos, vamos falar sobre movimento sob força da mola! Bom, inicialmente esse estudo parece ser um caso muito particular de movimento e sem grandes importância. Mas  os sistemas que oscilam estão presentes em uma grande parte da natureza, desde uma mola presa em um bloquinho, até uma partícula que tunela em um potencial do tipo oscilador harmônico. As aplicações estão nas mais diversas áreas, tanto na física como na engenharia.

Havia um professor do departamento de física da UFC que dizia que um dos sistemas mais importantes para os alunos da graduação, é entender os diferentes tipos de osciladores, porque é um dos sistemas mais utilizados em física.


1. Objetivos. 

O objetivo dessa aula é fazer com que vocês entendam como é a solução do oscilador harmônico quando só há uma mola.


1.2 Movimento quando só há a mola atuando! 

A principal ideia da mecânica newtoniana é simples: Sabendo o tipo de força que há sobre o sistema, precisamos saber como a posição do objeto varia no tempo. Para isso, basta resolver a seguinte equação diferencial:


\begin{equation}
\vec{F}=\frac{\mathrm{d}\vec{P} }{\mathrm{d} t}
\end{equation}

Na nossa presente situação o que está acontecendo é o seguinte:

 

O que está acontecendo na fiura acima é: Pegamos um bloquinho e puxamos até uma posição $x=A$ e soltemos. A terceira figura aparece o sistema em uma posição genérica $x$ em qualquer instante de tempo $t$. Nosso objetivo principal pe saber como encontrar a equação do movimento x(t) (que é a essência das leis de Newton, tranquilo?).

Você talvez esteja se perguntando: "Beleza professor, mas e daí?" Eu te respondo com a mais serena calma que pode existir: Calma meu jovem! Vamos seguir em frente? Pegue seu pão com manteiga e seu café e sigamos em frente!

- Você lembra qual é o primeiro passo para resolver uma questão de dinâmica?
- Claro!
- Qual é, João?
- Ora, é dizer quais são as forças que estão atuando no sistema.
- E tu sabes dizes quais são as forças que estão atuando no sistema da figura 1?
- Essa é fácil! Há três forças atuando no sistema! Basta colocarmos no famoso diagrama de forças! Vou escrevê-lo para analisarmos melhor, professor!

 

- Então que tipo de forças há aí, João? 

- Ora, há a força peso, a força normal e a força restauradora que faz com que o bloco volte sempre para o mesmo ponto onde começou a oscilação! 

- E a gente conhece essa famosa força restauradora? 

- Conhecemos sim, professor! É a famosa lei de Hooke! 

- Muito bem, João!!!!! Então, como podemos escrever em termos de equações vetoriais o nosso sistema? 

- Claro, professor! Fica assim: 

\begin{equation}\vec{F}=(-kx)\vec{i}+(N-mg)\vec{j}
\end{equation}
- O que eu fiz aqui, professor, foi decompor todas as forças, tanto em $x$ como em $y$! A força resultante que conhecemos pela Lei de Hooke, na direção $x$, é a seguinte:

\begin{equation}
\vec{F}=(-kx)\vec{i}
\end{equation}

- Mas, da equação (1), podemos escrever:

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}\vec{P} }{\mathrm{d} t}=(-kx)\vec{i}
\end{equation}
Mas, o momento linear pode ser escrito,

$$ \vec{P}=m\vec{v} $$
Daí, substituindo na equação (4), obtemos:

$$m\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}\vec{i}=-kx\vec{i}$$

Como todo mundo está na direção do vetor unitário $\vec{i}$, não escreverei mais o vetor!

Nós sabemos também que:

$$m\frac{\mathrm{d^2} x}{\mathrm{d} t^2 }=-kx$$


Logo, a equação diferencial que temos que resolver, é a seguinte:

\begin{equation}
 \frac{\mathrm{d^2} x}{\mathrm{d} t^2 }+\frac{k}{m}x=0
\end{equation}

Logo, para termos todas as informações possíveis sobre o nosso sistema é necessário conhecer a velocidade e como a posição está variando no tempo!!! E para encontrar isso temos que encontrar  $v(t)$ e $x(t)$ resolvendo a EDO (equação diferencial ordinária) acima!!!!

Para resolvê-la, vamos usar o método de integração! É um método simples (para este caso). Vamos fazer mais algumas contas?

nós temos a seguinte EDO:

\begin{equation}
m\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=-kx
\end{equation}

Podemos contornar facilmente o problema, fazendo o seguinte:

Sabemos que, $v=v(x(t))$, sucesso? Então, se derivarmos com relação a $x$, usamos a regra da cadeia e obtemos a seguinte equação:

$$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$$

Mas, sabemos que $v=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ e portanto, obtemos a seguinte equação diferencial:

\begin{equation}
v\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x}=-\frac{k}{m}x
\end{equation}

E resolvemos facilmente por separação de variáveis (tudo que depende de $x$ passa para um lado e o que depende de $v$ para o outro!). Obtemos a seguinte equação:

vdv=-\frac{k}{m}xdx
 Logo, integramos ambos os lados nos respectivos limites (lembre-se que o bloquinho foi puxado até um ponto onde $x=A$, que denominamos de amplitude e vai até $x$, um ponto arbitrário qualquer!)

Logo, obtemos:

$$\int_{0}^{v}vdv=-\frac{k}{m}\int_{A}^{x}xdx $$

Essa integral é extremamente trivial, e obtemos a seguinte resposta!

$$\frac{1}{2}v^2=-\frac{1}{2}\frac{k}{m}[x^2- A^2]$$

Portanto,

$$v^2=-\frac{k}{m}[x^2-A^2]$$

Colocando o sinal negativo em evidência,

$$v^2=\frac{k}{m}[A^2-x^2]$$

E, portanto:

\begin{equation}
v=\sqrt{\frac{k}{m}[A^2-x^2]}
\end{equation}

Agora, por fim, para encontrar a equação da posição não é difícil, basta utilizarmos o mesmo truque anterior! (Pegue um suco, porque você já deve ter bebido café demais!)

Já sabemos que $\frac{dx}{dt}=v$, portanto a equação (8) pode ser reescrita:

$$\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{k}{m}[A^2-x^2]}$$

E que ainda podemos reescrever:

$$\frac{dx}{dt}=\sqrt{\frac{k}{m}}\sqrt{A^2-x^2}$$

Se fizermos o mesmo processo de separação de variáveis, vamos obter o seguinte:

 $$\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}=\sqrt{\frac{k}{m}}dt $$

Integrando ambos os lados, obtemos:

 $$\int{\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}}=\sqrt{\frac{k}{m}}\int{dt} $$

Agora, temos como objetivo resolver a seguinte integral:

\begin{equation}
\int{\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}}
\end{equation}

Se fizermos uma substituição trigonométrica de x=Asen(x), obteremos o seguinte resultado:

\begin{equation}
\int{\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}}=arcsen\left ( \frac{x}{a} \right )+c
\end{equation}

Daí,

\begin{equation}
\int{\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}}=arcsen\left ( \frac{x}{a} \right )+c=\sqrt{\frac{k}{m}}t+c
\end{equation}

Portanto, como a constante é minha, eu faço o que eu quiser com ela (rs)!

$$
arcsen\left ( \frac{x}{a} \right )=\sqrt{\frac{k}{m}}t
$$

logo, aplicando a função seno ambos os lados, obtemos:

$$
sen\left \{arcsen\left ( \frac{x}{A} \right )  \right \}=sen\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}t  \right )
$$

Mas, como a inversa da inversa dá a própria função, então,

$$
\left ( \frac{x}{A} \right ) =sen\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}t  \right )
$$

Logo,

\begin{equation}
 x(t)=Asen\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}t  \right )
\end{equation}

De maneira mais geral, escrevemos:

\begin{equation}
 x(t)=Asen\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}t + \frac{\pi}{2}   \right )
\end{equation}


Logo, aprendemos a resolver uma equação diferencial ordinária para um sistema massa-mola em uma dimensão. É comum escrever a fórmula acima, porque dizemos que o sistema está defasado por $\frac{\pi}{2}$. Logo, escrevendo a solução geral, temos:

\begin{equation}
x(t)=Asen\left ( \omega t + \alpha  \right )
\end{equation}

Essa solução faz o total sentido. Veja a figura abaixo:

 Logo, era de se esperar que a solução fosse uma função trigonométrica!


Chamamos a equação (14) de solução geral para um sistema conservativo massa-mola. Há outros tipos de oscilações, mas  a mais básica que conhecemos é essa. Espero que vocês tenham aprendido uma técnica simples da solução de uma EDO! Até a próxima, pessoal!