Uma visão simplificada de vetor!

Boa tarde, galera!

Hoje nós vamos fazer uma breve revisão sobre os conceitos de vetores e vou tentar ensinar a vocês uma nova notação compacta para provarmos algumas propriedades de vetores!

1. Uma noção simplificada de vetor!

É comum denotar um vetor como aquela velha definição que aprendemos lá no ensino médio: Uma grandeza que tem módulo (seu tamanho), direção e sentido. Geralmente os vetores são escrito $\vec{A}$, $\vec{a}$, $\vec{r}$, etc.  É comum também representar um vetor através das suas componentes num sistema cartesiano ortogonal, como mostra a figura abaixo.

Geralmente, esse vetor $\vec{A}$, pode ser escrito como:

\begin{equation}
\vec{A}=A_{x}\vec{i}+A_{y}\vec{j}+A_{z}\vec{k} 
\end{equation}

onde $\vec{i}$, $\vec{j}$ e $\vec{k}$ são vetores unitários correspondentes às coordenadas x, y e z, respectivamente.

Há também duas operações de grande relevância entre vetores, que são o produto escalar (ou produtor interno) e o produto vetorial.

O produto escalar definimos da seguinte maneira:

\begin{equation}
\vec{A}\cdot\vec{B}=ABcos\theta
\end{equation}

onde $\theta$ é o produto escalar entre os dois vetores (como mostra a figura abaixo).

E o produto vetorial é definido da seguinte maneira:

\begin{equation}
\vec{A}\times \vec{B}=ABsen\theta
\end{equation}

Também, é comum escrever:

\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
\vec{A}\cdot \vec{B}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\\
\vec{A}\times\vec{B}=\left ( A_{y}B_{z} - A_{z}B_{y}\right )\vec{i}+\left ( A_{z}B_{x} - A_{x}B_{z}\right )\vec{j}+\left ( A_{x}B_{y} - A_{y}B_{x}\right )\vec{k}
\end{matrix}\right.
\end{equation}

Logo, nosso objetivo nessa aula é introduzir uma notação compacta para mostrarmos de uma maneira mais simples as identidades vetoriais! Vamos lá! 

2. Identidades vetoriais.

Inicialmente vamos designar os eixos coordenados por 1, 2 e 3 ao invés de x, y e z. Seja então $ê_{i}$ o vetor unitário correspondente ao eixo $i$ com $i=1,2,3)$. Escreveremos o produto escalar e vetorial entre os vetores da base da seguinte maneira (lembre-se a base é ortogonal):

\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
ê_{i}\cdot ê_{j}=\delta _{ij}\\
ê_{i}\times ê_{j}=\sum_{i=1}^{3}\epsilon _{ijk}ê_{k}
\end{matrix}\right.
\end{equation}

Onde o termo $\delta_{ij}$ é chamado de delta de kronecker e o simbolo $\epsilon_{ijk}$ é chamado de tensor de levi civita. Os definimos da seguinte maneira:

\begin{equation}
\delta_{ij} = \left \{ \begin{matrix} 1, & \mbox{se }\mbox{i=j} \\ 0, & \mbox{se }i\neq j \end{matrix} \right.
\end{equation}

 E,

\begin{equation}
\epsilon_{ijk}=\left\{\begin{matrix}
+1 ,& \mbox{se a permutação entre os índices forem par  }\\ -1 ,& \mbox{se a permutação entre os índices forem ímpar}
\\ 0 ,& \mbox{caso contrário}

\end{matrix}\right.
\end{equation}

Dessas novas definições, escrevemos o produto escalar e o produto vetorial entre dois vetores quaisquer da seguinte maneira:

\begin{equation}
\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i=1}^3A_{i}B_{i}
\end{equation}

e o produto vetorial, fica:

\begin{equation}
 \vec{A}\times  \vec{B}=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\sum_{k=1}^3\epsilon_{ijk}A_{i}B_{j}ê_{k}
 \end{equation}

Agora, vamos escrever com maior detalhes essas definições, motrando que realmente faz sentido escrevermos essas duas propriedades na forma da equação (8) e (9).

Bom, sabemos que:

$$\vec{A}=\sum_{i}A_{i}ê_{i}$$

e que:

$$\vec{B}=\sum_{j}B_{j}ê_{j}$$

Logo, podemos escrever o produto escalar da seguinte maneira:

$$\vec{A}\cdot \vec{B}=\left ( \sum_{i}A_{i}ê_{i} \right )\cdot \left ( \sum_{j}B_{j}ê_{j} \right )$$

Logo, podemos escrever,

$$\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i}\sum_{j}A_{i}ê_{i}\cdot B_{j}ê_{j}$$

Daí,

$$\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i}\sum_{j}A_{i} B_{j}\left ( ê_{i}\cdotê_{j} \right )$$

Pois $A_{i}$ e $B_{j}$, são componentes.

Logo, pela definição do produto escalar entre os vetores da base ortogonais,

$$ê_{i}\cdot ê_{j}=\delta _{ij}$$

escrevemos o seguinte:

 $$\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i}\sum_{j}A_{i} B_{j}\left ( \delta_{ij}\right )$$

 e pela definição do delta de Kronecker,

$$\delta_{ij} = \left \{ \begin{matrix} 1, & \mbox{se }\mbox{i=j} \\ 0, & \mbox{se }i\neq j \end{matrix} \right.$$

Logo, pela definição os índices tem de ser igual, pois se forem diferentes o resultado dessa soma é zero. Logo, com o delta de Kronecker conseguimos eliminar uma soma. Portanto a definição do produto escalar para uma base ortogonal é de fato dada por:

\begin{equation}
\vec{A}\cdot \vec{B}=\sum_{i}A_{i} B_{i}
\end{equation}

Se fizermos os mesmo passos para o produto vetorial, de fato vamos encontrar a equação (9).

Bom, agora já temos uma noção como essa notação compacta funciona. Mas para entender sua utilização vamos resolver um exemplo específico.

Há uma notação para não escrevermos a soma. Denominamos "notação de Einstein". Quando há dois indicies repetidos, deixamos implícito que é uma soma!

Exemplo 1 Demonstre a seguinte identidade vetorial:
\begin{equation}
\vec{A}\times \left ( \vec{B}\times\vec{C} \right )=\left ( \vec{A}\cdot \vec{C} \right )\vec{B}-\left ( \vec{A}\cdot \vec{B} \right )\vec{C}
\end{equation}

Bom, você lembra da definição usal de um produto vetorial? É, temos que resolver um determinante. Logo, para encontrar a relação acima teríamos que resolver dois determinantes $3\times3$. Portanto, vamos utilizar nossa notação compacta!

Vamos lá! Prepare um cafézinho e vamos entender melhor como funciona essa notação na prática!

$$\vec{A}\times \left ( \vec{B}\times\vec{C} \right )=\left ( A_{i}ê_{i} \right )\times\big[\left ( B_{j}ê_{j} \right )\times\left ( C_{k}ê_{k} \right )\big]$$




Logo, podemos escrever a equação acima da seguinte maneira:

$$\vec{A}\times \left ( \vec{B}\times\vec{C} \right )=\left ( A_{i}ê_{i} \right )\times\big[ B_{j}C_{k}\left ( ê_{j}\timesê_{k} \right )\big]$$

Mas da nossa deifnição do produto vetorial entre as bases ortogonais, temos:

$$ê_{j}\times ê_{k}=\epsilon _{jkl}ê_{l}$$

Onde $l$ é uma variável muda (ou seja, poderia renomeá-la do que eu bem entender, porém, preferi chamar de "l"). Daí, podemos reescrever a equação acima da seguinte maneira:

$$ \vec{A}\times \left ( \vec{B}\times\vec{C} \right )=\left ( A_{i}ê_{i} \right )\times\big[ B_{j}C_{k}\left (\epsilon_{jkl}ê_{l} \right )\big]$$



Logo, como $A_{i}$, $B_{j}$, $C_{k}$ e $\epsilon_{jkl}$ são constantes, podemos escrever:

$$\vec{A}\times \left ( \vec{B}\times\vec{C} \right )=\left ( \epsilon_{jkl}A_{i} B_{j}C_{k} \right )\left (ê_{i}\timesê_{l} \right )$$

Mas, pela nossa definição novamente, temos:


$$ê_{i}\times ê_{l}=\epsilon _{ilm}ê_{m}$$
Onde mais uma vez renomeei o índice $m$. Substituindo na equação acima, obteremos o seguinte:

 $$\vec{A}\times \left ( \vec{B}\times\vec{C} \right )=\epsilon_{jkl}\epsilon_{ilm}A_{i}B_{k}C_{k}ê_{m}$$

Agora vou mostrar uma relação importantíssima que será mostrar só em um post posterior, pois para demonstrá-la precisaríamos entender um pouco sobre tensores (que não é nosso objetivo nessa aula). Portanto, espero que vocês tenham a humildade de aceitar a seguinte relação:

\begin{equation}
 \epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}
 \end{equation}

Portanto,

$$\vec{A}\times \left ( \vec{B}\times\vec{C} \right )=\left ( \delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl} \right )A_{i}B_{j}C_{k}$$

Logo, fazendo o seguinte:

$$\vec{A}\times \left ( \vec{B}\times\vec{C} \right )=\left ( \delta_{il}\delta_{jm}A_{i}B_{j}C_{k}-\delta_{im}\delta_{jl}A_{i}B_{j}C_{k} \right )$$

Você ainda lembra da definição do delta de Kronecker? Pois é, sifnifica, nessa parte, dizer que no primeiro pedaço da equação os índices $i=l$ e $j=m$. E no segundo pedaço, $i=m$ e $j=l$. Fazendo as respectivas substituições, obtemos:

$$\vec{A}\times \left ( \vec{B}\times\vec{C} \right )=A_{i}C_{i}B_{j}ê_{j}-A_{i}B_{i}C_{k}ê_{k}$$

E portanto, pela nossa definição do produto escalar, podemos de fato escrever que:

\begin{equation}

\vec{A}\times \left ( \vec{B}\times\vec{C} \right )=\left ( \vec{A}\cdot \vec{C} \right )\vec{B}-\left ( \vec{A}\cdot \vec{B} \right )\vec{C}


\end{equation}

Como queríamos demonstrar. Logo, a notação compacta nos oferece um dinamismo melhor na hora de demonstrar as  relações vetoriais. Essas técnicas também se aplicam a operadores vetoriais (gradiente, divergente, rotacional e o laplaciano)!

Então era isso que eu queria passar para vocês hoje! Qualquer dúvida envie pelos comentários!