Derivada direcional de um campo escalar!

E aí, galera! Bom dia!

Hoje vou fazer um post sobre a derivada direcional de um campo escalar.

Apesar de haver matemática do ensino superior... Não desista de ler! Porque por mais que não entenda a matemática abordada aqui, você pode entender o significado do que vamos falar! Então... Estão prontos? Vamos lá!

1. A derivada direcional de um campo escalar!

Então galera, já que vamos falar sobre a derivada de um campo escalar, nada seria mais justo explicar o que é um campo. Gostaria de dizer, inicialmente, que o conceito de campo não é um conceito trivial, muito pelo contrário, é bem complexo. Geralmente quando estamos na sala de aula, aprendemos que o campo é um aparato matemática que tem uma definição, como o campo gravitacional que é dado por:

\begin{equation}
\vec{g}=\frac{GM}{R^2}\vec{r}
\end{equation}

Então... Isso não é uma definição precisa e passa longe dos propósitos da física. Mas claro, a fórmula matemática é de grande relevância, porque nos permite fazer a análise quantitativa dos nossos dados e a ciência preza muito por isso! Até aqui, tudo bem?

Então, continuando nosso exemplo do campo gravitacional, podemos pensar o seguinte: A Terra e a Lua se atraem mutualmente, não é  mesmo? Isso porque a Terra e a Lua interagem mesmo quando não estão em contato (é realmente incrível que um ser humano tenha pensado nessa possibilidade). Na afirmativa acima, podemos colocar isso de outra maneira: Podemos conceber a Lua como estando interagindo com o campo gravitacional da Terra. Então pode-se considerar que as propriedades do espaço que rodeia qualquer corpo massivo são alteradas de tal maneira que outro corpo massivo localizado nessa região experimentará uma forma. Essa alteração do espaço é o que chamamos de campo gravitacional. Mas nesse exemplo que coloquei, o campo gravitacional é um campo de Força e portanto é um campo vetorial e não um campo escalar.

"Ah, professor, agora eu tô confuso...". Calma, jovem! Vou explicar o motivo de inicialmente eu querer definir o que é um campo vetorial. Vocês já ouviram falar em efeito doppler? Quem nunca assistiu the big bang theory e não lembra do episódio do Sheldon fantasiado de efeito doppler?

Definitivamente seria mais fácil o Sheldon dizer que é uma zebra! (rsrsrs)

Voltando ao que nos interessa, o efeito doppler sinigica o seguinte:

vamos considerar a nossa ambulância aproximando-se do observador. Quando tal fato ocorre, veremos que a as frentes de onda que estão à frente da fonte ficarão mais próximas, enquanto as que ficam atrás ficarão mais afastadas. Do seu ponto de vista, o observador receberá frentes de onda com uma frequência maior quando comparado com o caso da fonte em repouso. O resultado será a percepção, pelo observador, de um som mais agudo, ou seja, a frequência da onda sonora para o observador será maior do que a que está sendo emitida pela fonte... (caso você queira saber mais sobre o efeito doppler, entre nesse link: https://bit.ly/2RGWCO6). O que eu quero dizer com esse exemplo? Gente, o nosso campo são as frentes de onda (o som), certo? A fonte do nosso campo é a ambulância, certo? Mas... Para fazer a medida quantitativa da frequência, depende fortemente do observador! E isso é um exemplo de um campo variável! (lembre-se que todo campo tem sua fonte). Porém, um campo escalar tem a propriedade de nunca mudar independente do observador!!!

 Para ser mais enfático: Campos escalares têm de ser independentes de coordenadas, significando que quaisquer dois observadores usando o mesmo sistema de unidades concordarão no valor do campo em um mesmo ponto absoluto no espaço (ou espaço-tempo) quaisquer que sejam seus respectivos pontos de origem. Um exemplo de campo escalar? Um campo de temperatura! Geralmente os campos de temperatura são descritos da seguinte maneira:

Está claro o que é um campo escalar e vetorial? Então... Vamos para a parte mais bacana: A matematização do nosso estudo!

Vamos chamar nosso campo escalar de $\varphi (x,y,z)$, onde esse campo escalar, como dissemos anteriormente, pode  representar um campo de temperatura, um potencial eletrostático, ou seja, é um campo que não é um vetor, é um escalar. A nossa questão é a seguinte: O que significa diferenciar esse vetor em uma dada direção? Ao responder essa pergunta, vamos que isso significa o que é uma derivada direcional.

Então, seja $\vec{V}(x,y,z)$ a direção que vamos derivar o campo escalar $\varphi (x,y,z)$. Então, usando a definição de derivada, temos:

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d\varphi } }{\mathrm{d} \vec{V}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\varphi(\vec{r}+h\vec{V})-\varphi(\vec{r})}{h}
\end{equation}

Daí, podemos escrever, de forma semelhante ao que está escrito na equação (2), o seguinte:

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d\varphi }}{\mathrm{d}\vec{V}}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\varphi(x+hV_{x},y+hV_{y}, z+hV_{z})-\varphi(x,y,z)}{h}
\end{equation}

Galera, agora muita atenção nesse passo que eu vou fazer: Como $h$ é pequeno, vou fazer uma expansão em série e Taylor e "truncar" na primeira derivada. A série de Taylor para três variáveis até a primeira derivada, pode ser descrito por:

\begin{equation}
P_{n}(x,y)=f(x_{0},y_{0})+\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}\frac{(x-x_{0})}{1!}+\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}\frac{(y-y_{0})}{1!}+\frac{\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial z}\frac{(z-z_{0})}{1!}
\end{equation}

"Truncar" na primeira derivada significa que só vou até a primeira derivada. Não passo dela. Daí, podemos escrever:

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d\varphi }}{\mathrm{d}\vec{V}}=\lim_{h\rightarrow 0}\left [ \varphi(x,y,z)+hV_{x}\frac{\partial \varphi}{\partial x}+hV_{y}\frac{\partial \varphi }{\partial y}+hV_{z}\frac{\partial \varphi }{\partial z}-\varphi(x,y,z) \right ]\frac{1}{h}
\end{equation}

Agora observe que os $\varphi$ são cancelador e o $h$ pode ser colocado em evidência e posteriormente cancelado. Após isto, teremos:

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d\varphi }}{\mathrm{d}\vec{V}}=\left [V_{x}\frac{\partial \varphi}{\partial x}+V_{y}\frac{\partial \varphi }{\partial y}+V_{z}\frac{\partial \varphi }{\partial z} \right ]
\end{equation}

Você concorda que a equação acima tem a "cara" de um produto escalar? Então... Escrevemos o seguinte:

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d\varphi }}{\mathrm{d}\vec{V}}=\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\boldsymbol{j}+\frac{\partial\varphi }{\partial z}\boldsymbol{k} \right )\cdot \left ( V_{x}\boldsymbol{i}+V_{y}\boldsymbol{j}+V_{z}\boldsymbol{k} \right )
\end{equation}

Onde chamamos de gradiente a seguinte quantidade:

\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\varphi=\left ( \frac{\partial \varphi }{\partial x}\boldsymbol{i}+\frac{\partial \varphi }{\partial y}\boldsymbol{j}+\frac{\partial\varphi }{\partial z}\boldsymbol{k} \right )
\end{equation}

Logo, podemos escrever:

\begin{equation}
\frac{\mathrm{d\varphi }}{\mathrm{d}\vec{V}}=\boldsymbol{\nabla}\varphi\cdot \vec{V}
\end{equation}

A equação acima não é exatamente a expressão mais útil. A questão é a seguinte: Dado um ponto do campo, qual a variação que esse campo sofre quando há um deslocamento em uma dada direção $\vec{V}$, de modo que esse deslocamento seja infinitesimal?

Então, a resposta é a seguinte:

\begin{equation}
d\varphi=\boldsymbol{\nabla}\varphi\cdot d\vec{V}
\end{equation}

Agora peço mais uma vez a atenção de todos vocês:

Imaginemos uma carga pontual, onde sabemos que as superfícies equipotenciais são esferas concêntricas cuja origem é o ponto. Agora se faça a seguinte pergunta: Imagine que eu pegue um ponto e te pergunte qual a variação da superfície equipotencial a partir desse ponto?" Ora, depende da direção que eu tomo, porém, existe uma direção que é máxima (que é chamada direção do gradiente). A direção onde a equação (10) vai ser máxima, é quando o gradiente for paralelo ao $d\vec{V}$, ou seja:

\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\varphi\parallel  d\vec{V}
\end{equation}

E também existe uma direção onde o potencial não muda, que é percorrer sobre uma superfície equipotencial. Se percorremos essa superfícia, o potencial não varia, que é exatamente quando é perpendicular a direção do gradiente. Logo, eu irei tomar a expressão (10) como a definição do gradiente.

Portanto, podemos afimar que o gradiente é a direção de variação máxima do meu campo escalar.

Há outro fator bem interessante, é que se usarmos essa definição, podemos usar o gradiente em qualquer sistemas de coordenadas curvílineas, mas para isso, escreverei em outra postagem!

Obrigado pela atenção, pessoal <3

alguns sites que me ajudaram a escrever esse post:

1. https://bit.ly/2Dpj1Xs  

2. https://bit.ly/2RGWCO6

3. https://bit.ly/2MkGlsv

4. https://bit.ly/1H5pWNZ

5. https://bit.ly/2FND8QN