Hamilton e seus Quatérnions, Maxwell e a Análise Vetorial

E aí, pessoal. Tudo bem? (;

     Nessa postagem eu trago um tema super interessante relacionado a um dos capítulos mais importantes da história da Física e do desenvolvimento da Matemática. De certeza, se você é um(a) estudante de Física ou Matemática, entusiasta do assunto ou mesmo curioso(a) sobre, os nomes Hamilton e Maxwell não são estranhos. Certo? Mas, e ... Quatérnions ? O que são e o que tem a ver com Análise Vetorial? 

     Talvez você esteja familiarizado com o assunto, embora na minha pequena experiência em falar sobre isso com colegas e amigos eu constate que, na grande maioria das vezes, é desconhecida a relação. Decidi reescrever esse pequeno texto que eu comecei há tempos (nos longos períodos de procrastinação) pesquisando bem informalmente como que o cálculo de quatérnions (assunto de Matemática) acabou se transformando no que estudamos hoje em análise vetorial (onde a Física se esbanja).

     Ao final do texto eu espero que você esteja convencido(a) de que, mesmo, possivelmente, não sabendo sobre eles, você os opera com facilidade desde muito cedo. (;

   Bem, antes de começar a contar o que são, como surgiram e porque são legais os quatérnions, eu gostaria de fazer um desabafo motivacional. Logo que entrei no bacharelado em Física eu tive uma grande decepção com relação ao ensino: tudo que era apresentado parecia se encaixar perfeitamente. Deixa eu explicar. O que não é novidade para ninguém, os fenômenos físicos são estudados através de uma abordagem matemática. Matemática essa que, na apresentação didática do fenômeno, parecia estar toda pronta, exatamente como se precisava que estivesse.

   Talvez, um dos exemplos mais ilustrativos que posso dar (que é nosso tema) é do eletromagnetismo: será que a Análise Vetorial empregada no seu formalismo foi desenvolvida antes do velho Maxwell publicar em $1873$ sua obra prima A Treatise On Eletricity and Magnetism? Ele usava rotacional? Divergente? A equação do potencial elétrico já era de Poisson no seu livro? Essas dúvidas me levaram a querer ler o livro original deste senhor e descobrir a evolução histórica da coisa.

James Clark Maxwell. Físico e matemático irlandês  famoso por dar 

forma precisa às leis do eletromagnetismo. Embora as equações que 

publicou em 1873 sejam duas devidas a Gauss, uma a Àmpere e  ou - 

tra a Faraday, o conjunto leva, por justa razão, o seu  nome já  que as 

completou e deu sentido de fundamentais ao conjunto.

  Na época, tive duas surpresas. Primeiramente, é muito fácil achar o livro. Melhor ainda, é muito fácil obter a versão original de 1873, que foi digitalizada. (Com uma busca rápida na internet você o encontra e, de bônus, um acervo gigantesco de clássicos literários digitalizados. Vale a pena!) A outra surpresa, devido a idade do livro, foi que achei - e ainda acho - a leitura do seu Treatise muito agradável. Foi publicado em inglês e conseguimos ter acesso tanto ao estilo quanto ao conteúdo intacto da objetividade do texto, que não é tão longe do que estamos acostumados hoje. (O Principia do Newton, por exemplo, que foi publicado originalmente em latim, me deixa a dúvida - já que eu infelizmente não leio em latim - se as traduções não tenham sacrificado o estilo ou a objetividade do texto. Toda tradução é imperfeita e, em geral, uma destas duas característica é escolhida pelo tradutor. Reza a lenda que em obras literárias se opta por manter o estilo, enquanto em textos científicos pela objetividade.) Na minha opinião, o Treatise deveria ser uma das dezenas de leituras obrigatórias que temos na faculdade. É um verdadeiro tesouro de ideias matemáticas. Eu costumo, até hoje, quando preciso de uma palavra de sabedoria (risos) folheá-lo e reler alguma página ao acaso.

     Mas chega de papo e vamos ao que interessa. Como bom físico que era, o sr. James começa o seu livro falando sobre sistema de unidades. Lá pelas tantas, logo no início do livro, em Preliminary, ele bajula o Descartes dizendo "A introdução de eixos coordenados na geometria por Des Cartes foi um dos maiores passos no progresso matemático, pois reduziu os métodos da geometria em cálculos performados por quantidades numéricas.'', mas mais adiante continua: "Este modo de contemplar quantidades geométricas e físicas é mais primitivo e mais natural que outros, apesar de que as ideias que os conectam não receberam seu desenvolvimento completo até Hamilton ter feito  o próximo grande passo em lidar com o espaço, através da invenção do seu Cálculo de Quatérnios.'' Eis que ele cita pela primeira vez os quatérnios, e na mesma página segue uma defesa do uso da invenção do Hamilton.    

Sir William Rowen Hamilton. (1805-1865)

     Pois é, os Quatérnios foram inventados por (denotados atualmente por $\mathbb{H}$ em homenagem a) Sir William Rowen Hamilton  e são uma espécie de "generalização" de números complexos. Em 1821 não existia facebook ou video game em Dublin e o pequeno William, aos 16 anos, já dominava 13 idiomas e tinha lido Os Elementos de Euclides, o Principa e Arithmetica Universalis do Newton. Devia ser uma daquelas crianças muito irritantes, não é? (risos). Nos últimos 20 anos de sua curta vida, Hamilton vivia uma obsessão: Se os números reais podem ser associados a pontos em uma reta e os números complexos podem ser associados a pontos no plano, será possível associar que tipo de números aos pontos do espaço? Espaço aqui é o nosso atual $\mathbb{R}^3$. E a pontos do $\mathbb{R}^4$? Será possível?

     Da segunda metade do século XVI à primeira metade do século XVIII, os números negativos e imaginários eram abomináveis. (Sim, o reconhecimento da cidadania matemática dos números negativos e complexos - pasmem - ocorreu na mesma época.) Só no início do século XIX que o pessoal (Wessel, Gauss, Argand) estava começando a gostar da ideia de representar geometricamente um número complexo (plano de Argand-Gauss te lembra alguma coisa?). O Gauss, claro, estava metido com isso e já perseguia a ideia de "generalizar'' os números complexos para uma versão tridimensional, assim como Wessel.

     Nesse fervo todo o Hamilton toma partido e por 1837 (quando já era uma figura conhecida e influente - ele foi até morrer Astronomo Real da Irlanda, por exemplo) publica um artigo completo com uma visão alternativa de números complexos associando-os a pares ordenados. Até hoje fazemos isso. Cada número complexo $z=a+bi$ está associado a um, e somente um, par ordenado da forma $(a,b)$ que, por sua vez, está, também univocadamente, associado a um ponto do $\mathbb{R}^2$. E repara que essa associação não é pouca coisa: quer dizer que tudo que se pode fazer com vetores no $\mathbb{R}^2$ é equivalente a ser feito com números complexos. Por exemplo, multiplicar um complexo $(a,b)$ pela unidade imaginária $i$ é o equivalente a fazer uma rotação de $90^{\circ}$ no sentido anti-horário no vetor $(a,b)$. De fato, $i \cdot (a,b) = (-b,a)$ e o vetor $(-b,a)$ é perpendicular a $(a,b)$. Atualmente, o entendimento preciso disso é que o conjunto dos números complexos $\mathbb{C}$ é isomorfo ao $\mathbb{R}^2$.  Este é só um termo bonito que resume e significa tudo o que eu estava querendo dizer. O pessoal faz isso em matemática. Ao invés de dizer, por exemplo, que um dado número só divisível por si mesmo e pela unidade substitui-se toda essa frase por dizer que este dado número é primo.

"Caminhando por aqui em 16 de Outubro de 1843 Sir William 

Rowen Hamilton em um momento de genialidade descobriu 

a formula fundamental para a multiplicação dos quaternions

                              $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

e gravou-a na pedra dessa ponte."

      No artigo, o Hamilton menciona que está determinado a publicar uma teoria que lide com números na forma de ternas ordenadas. Ele deixa claro no texto que considera importante a observação de associatividade, leis de distributividade e comutatividade para a álgebra que gostaria de criar. Ele soluciona o problema em 1843, mas só publica um livro completo sobre em 1853, com o nome Lectures on Quaternions. Conta-se que Hamilton vislumbrou a solução do problema atravessando uma famosa ponte na Irlanda e, de imediato, gravou nela a fórmula que havia descoberto: $ijk=-1$. (É sempre assim: Arquimedes numa banheira, Newton à sombra de uma macieira, Kekulé em um sonho.) Embora não reste a inscrição na ponte, em 1958 uma placa em pedra foi construída e, em seu lugar, faz menção a descoberta.
     Ele conta no livro que não consegue dar uma mesma roupagem de álgebra às ternas ordenadas como se faz com os pares ordenados. Hoje sabemos que isso é mesmo impossível. A estrutura de corpo dos números reais e complexos não pode ser estendida ao $\mathbb{R}^3$. Ele conta no prefácio: " Ao invés dos meus antigos símbolos [...], eu escrevi mais brevemente $1$, $i$ e $j$; assim, um tripleto numérico leva a forma $x+iy+jz$, onde eu propus interpretar $x, y$ e $z$ como três coordenadas, e o tripleto em si como denotando uma linha no espaço.''. Logo em seguida ele assume $i^2 = j^2 = -1$, a distributividade, a comutatividade ($ij=ji$) e faz o produto de dois desses tripletos:$$(a+ib+jc) \cdot (x+iy+jz) = (ax-by-cz)+ i(ay+bx)+j(az+cx)+ij(bz+cy).$$ Desconsiderando o termo cruzado $ij$ parece que esse produto de dois tripletos dá um novo tripleto. Então, ele fala: " ... mas eu não vi primeiramente o que fazer com o produto $ij$.''. Em seguida, tem a ideia de incluir um novo símbolo $k$. Ao invés de tripletos, agora fala em quatérnion e os escreve como $$q= w + xi+jy+kz \ \ \mbox{ou} \ \ q=w+ \rho, \ \ \mbox{com} \ \ \rho =xi+jy+kz .$$  Ele mesmo chama o $w$ de "scalar part" e $\rho$ de "vector part" do quatérnion denotando $$Sq = w \ \ \mbox{e} \ \ \ Vq = \rho $$ o que é muito parecido com o que entendemos hoje por parte real e imaginária de um complexo. E nessa que começamos a nos aproximar dos produtos atuais entre vetores. Um quatérnion com parte escalar nula dá origem às "formas trinomiais'' $$xi+jy+kz$$ que, obedecendo as propriedades operatórias estipuladas pelo Hamilton como $$i^2=j^2=k^2=-1, \ \ ij = -ji=k, \ \ jk = -kj = i \ \mbox{e}  \ \ ki = -ik = j$$ (é claro que você está reconhecendo, a exceção dos quadrados, as leis de operação do produto vetorial!) ele multiplica dois desses trinômios assim:$$(ix+jy+zk)(ix'+jy'+zk') = -xx'-yy'-zz'+i \ (yz'-zy')+j \ (zx'-xz')+k\ (xy'-yx') $$ Repara que ele abre mão da comutatividade, mas esse produto fica fechado nos quatérnios pois dois deles, $q$ e $q'$, dão origem a um terceiro quatérnion $qq'$. A parte escalar do produto é $$Sqq' = -xx'-yy'-zz',\ \ \mbox{a parte vetorial é} \ \ Vqq' =i(yz'-zy')+j(zx'-xz')+k(xy'-yx') $$ e cada uma dessas ideias foi amadurecida ao longo do tempo até chegar até nós como PRODUTO ESCALAR e PRODUTO VETORIAL, como se fosse a parte escalar do produto e a parte vetorial dele. A parte vetorial está intacta, i.e, em linguagem atual, o produto vetorial entre $(x,y,z)$ e $(x',y',z')$ do $\mathbb{R}^3$ é $$(x,y,z) \times (x',y',z') = (yz'-zy'\ , \ zx'-xz'\ , \ xy'-yx'),$$ mas a parte escalar difere por um sinal do atual produto escalar $(x,y,z) \cdot (x',y',z') = xx'+yy'+zz'$. 

      Esse sinal de menos original gera uma coisa bem interessante com relação ao divergente. Falando de aplicações em Física, voltemos ao Treatise do Maxwell. Ele escreve nas preliminares também:

" Seja $\sigma$ uma função vetorial de $\rho$, o vetor de um ponto variável. Supomos, como usualmente, que $$\rho = ix+jy+kz,$$ $$\mbox{e} \ \ \ \sigma = i X + jY + k Z;$$ onde $X$, $Y$, $Z$ são as componentes de $\sigma$ nas direções dos eixos. Nós temos que executar em $\sigma$ a operação $$  \nabla = i \frac{d}{ dx} + j \frac{d}{ dy}+ k \frac{d}{ dz}.$$ Executando esta operação, e lembrando as regras para a multiplicação de $i$, $j$ e $k$, encontramos que $\nabla \sigma$ consiste em duas partes, uma escalar e a outra vetorial.  A parte escalar é $$S\nabla \sigma = - \left (\frac{dX}{ dx} +  \frac{dY}{ dy}+  \frac{dZ}{ dz}  \right ) \ \ \mbox{e a parte vetorial é} \ \  V  \nabla \sigma = i\ ( \frac{dZ}{dy}-\frac{dY}{dz} )+ j \ (\frac{dX}{dz}-\frac{dZ}{dx})+k \ (\frac{dY}{dx}-\frac{dX}{dy}).$$   [...] Para entender o significado destas funções de um vetor, vamos supor que $\sigma_0$ seja o valor de $\sigma$ em um ponto $P$, e examinemos o valor de $\sigma_0 - \sigma$ na vizinha de $P$. Se desenharmos um superfície fechada em torno de $P$, então, se a integral de superfície de $\sigma$ nessa superfície é direcionada para dentro, $S \nabla \sigma$ será positivo, e o vetor $\sigma_0 - \sigma$  próximo ao ponto $P$ será no todo direcionado a $P$, como na figura (1). 
   Eu proponho, portanto, chamar a parte escalar de $\nabla \sigma$ de "convergence" de $\sigma$ no ponto $P$. "

     Repara que, pelo sinal de menos na coisa, a interpretação dele sobre o objeto $S \nabla \sigma$ é inversa ao que entendemos hoje como o divergente $\nabla \cdot \sigma$. Ele chama de CONVERGENTE pois o sinal trocado inverte a informação se as linhas de um campo estão divergindo ou convergindo para um dado ponto. Interessante, né? Na mesma página batiza a parte vetorial do $\nabla \sigma$ de "curl" (o nosso atual rotacional) e justifica a escolha como fez com a parte escalar.

     A separação do produto de quatérnions em dois produtos binários já era realidade menos de 10 anos mais tarde, com Elements of Vector Analysis, do Gibbs, publicado em 1881, dando a noção atual que temos: o produto escalar entre $a$ e $b$ é um número dado pelo produto das magnitudes de $a$ e $b$ pelo cosseno do ângulo entre eles; e o produto vetorial entre $a$ e $b$ é um vetor perpendicular a ambos cuja magnitude é a área do paralelogramo formado por eles. Ele define assim mesmo. Mas um pouco antes, em 1877, o Clifford publica um livro chamado Elements of Dynamics e já propõe essa separação bem claramente e comenta sobre o cosseno e o seno. Não achei referência a quaternions em nenhum dos dois livros.


       Para saber mais: 3b1b: What are quaternions, and how do you visualize them? A story of four dimensions. Esse canal é absolutamente fantástico!

     Enfim, o texto ficou um pouco (bem) mais longo do que eu gostaria, mas espero que tenha ficado tão divertido lê-lo quanto foi para mim escrevê-lo. =) 



                                                                                                                                      Até a próxima,

                                                                                                                                                Russman.